单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) d t$, 则 $f(x)= $
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{2}+2$
$\text{C.}$ $x-1$
$\text{D.}$ $x+2$.
设 $a$ 为正实数, 令 $I_a=\int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\ln x}{1+x^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_a=0$.
$\text{B.}$ $I_a=1$.
$\text{C.}$ $I_a=-1$.
$\text{D.}$ $I_a=2$.
$\text{E.}$ $I_a$ 的值与 $a$ 有关.
已知 $\int f(x) \mathrm{d} x=x^3+C$ ，则 $\int x f\left(1-x^2\right) \mathrm{d} x=()$ ．
$\text{A.}$ $-2\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{B.}$ $2\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^3+C$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}\left(1-x^2\right)^3+C$
设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 内的可微函数，则下列四个式子中错误的是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d x=f(t)$
$\text{B.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(x) d x=f(x)$
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(t) d t=f(x)$
$\text{D.}$ $\frac{d}{d x} \int_a^x f(x) d t=f(x)$
如果 $f(x)$ 的导数为 $\cos x$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{aligned}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{aligned}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1 .\end{array}\right.$
设 $f(x)$ 是连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 必是偶函数．
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时，$F(x)$ 必是奇函数．
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是周期函数时，$F(x)$ 必是周期函数．
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时，$F(x)$ 必是单调增函数．
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数．
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数．
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数．
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数．
已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $2 x$
$\text{B.}$ $x^3 / 3$
$\text{C.}$ $x^2$
$\text{D.}$ $2 x+C$ （ $C$ 为常数）
设 $\forall x \in(a, b)$ ，有 $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ ，则 $\forall x \in(a, b)$ 有
$\text{A.}$ $\int f(x) d x=g(x)+C$ ；
$\text{B.}$ $\int g(x) d x=f(x)+C$ ；
$\text{C.}$ $f(x)=g(x)$ ；
$\text{D.}$ $f(x)=g(x)+C$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导，一则下列结论正确的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]=f(x)+C$
$\text{B.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{C.}$ $\left[\int_1^x f(t) \mathrm{d} t\right]^{\prime}=f(\underset{\sim}{x})$
$\text{D.}$ $\left(\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}=f(x)$
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)$ ；
$\text{B.}$ $\int d f(x)=f(x)$ ；
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x)$ ；
$\text{D.}$ $d \int f(x) d x=f(x)$ ．
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $\int_a^b f(x) d x$ 存在的
$\text{A.}$ 必要条件；
$\text{B.}$ 充分条件；
$\text{C.}$ 充要条件；
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$d \underline{}=\cos t d t$;
已知 $\frac{\cos x}{ x }$ 是 $f(x)$ 的一个原函数,则 $\int f(x) \cdot \frac{\cos x}{x} d x=$
计算$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\int_1^x \sqrt{1+t^2} d t}{x^2}$
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
设 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则为 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x=$
积分 $\int \frac{1}{x\left(x^2+1\right)} d x=$
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)$ 连续可导，则 $\int f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\int \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt{1+x^2}} d x$.
求 $\int \sin ^2 \frac{x}{2} d x$ ．
求 $\int \frac{3 x^4+2 x^2}{x^2+1} d x$