单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)=3 x^2-\int_0^1 f(t) d t$ ，则 $f(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $3 x^2-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $3 x^2-1$
$\text{D.}$ $3 x^2-2$
设 $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x d x, \quad J=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x d x, \quad K=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x d x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
设 $\int f(x) \sin x d x=\sin x+C$ ，则 $\int f(x) \tan x d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\tan x+C$
$\text{B.}$ $\cot x+C$
$\text{C.}$ $\ln |\sec x|+C$
$\text{D.}$ $x+C$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $a>0$ ，则 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} d x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $a^2$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{2} a^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4} a^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} \pi a^2$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x d x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} d x=\ln 2$ ，则 $a=$
定积分 $\int_{-1}^1(|x|+\sin x) x^{10} d x$ 的值为
$\int_{-2}^2\left(\frac{x}{1+x^2}+|x|\right) d x=$
$\int_{-1}^1 x^3 \cos x d x=$
解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^2 \sin x+\frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\right) d x$.
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}$
$\int_{-1}^1 \frac{1}{1+x^2} d x$
$\int_{-\pi}^\pi \sin x d x=0$
$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{(\arcsin x)^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$ ；
$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} d x$ ；
$\int_0^2 \frac{x d x}{\left(x^2-2 x+2\right)^2}$
$\int_0^a x^2 \sqrt{a^2-x^2} d x$;
$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$;
$\int_0^1 t e^{-\frac{t^2}{2}} d t$;
$\int_1^{e^2} \frac{d x}{x \sqrt{1+\ln x}}$;
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^3 x} d x$;
$\int_0^\pi \sqrt{1+\cos 2 x} d x$.
设 $x>0$ ，证明 $\int_0^x \frac{1}{1+t^2} d t+\int_0^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^2} d t=\frac{\pi}{2}$ ．
计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；
计算 $\int_0^\pi x^2|\cos x| d x$ ．
设 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1+x^2, x < 0 ; \\
e^{-x}, x \geq 0 \text { ．}
\end{array}\right. $
求 $ \int_1^3 f(x-2) d x$
估计定积分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x d x$ 的值．
（1） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e ^{2 x} \cos x d x$ ；
（2） $\int_0^1 \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} d x$ ；
试证 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并由此计算 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x$
$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\int_1^{e^2} x^2 \ln x d x$
$\int_0^{2 \pi} x|\sin x| d x$
$\int_0^2 x^2 \arctan (x-1) \mathrm{d} x$