单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2
$$
的正惯性指数与负惯性指数依次为
$\text{A.}$ 2,0
$\text{B.}$ 1,1
$\text{C.}$ 2,1
$\text{D.}$ 1,2
设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有 2 阶导数，则（ ）
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时， $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0, f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数
设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^p(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 2)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ ，则 $A x=b$ 的解的情况为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 无解
$\text{B.}$ 有解
$\text{C.}$ 有无穷多解或无解
$\text{D.}$ 有唯一解或无解
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right)$, 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0,1\}$
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R, \lambda \neq-2\}$
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R$ 且 $\lambda \neq-1\}$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续， $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续， $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在， $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
若函数 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_0$ 处取得最小值，则 $\alpha_0=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$
$\text{B.}$ $-\ln (\ln 2)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln 2}$
$\text{D.}$ $\ln 2$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\infty}^{+\infty}|x| 3^{-x^2} \mathrm{~d} x=$
已知 $f(t)=\int_1^{t^2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^t \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$
微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y=0$ 的通解为 $y=$
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\int_0^1 \frac{2 x+3}{x^2-x+1} \mathrm{~d} x=$
已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3 \theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\right)$ ，则 $L$ 围成的有界区域的面积为
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} \mathrm{~d} t$ 的弧长为
设曲线 $L: y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求 $y(x)$ 的表达式；
(2) 在 $\boldsymbol{L}$ 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线
$$
x^2+y^2-x y=1, x^2+y^2-x y=2
$$
与直线 $y=\sqrt{3} x, y=0$ 围成，计算二重积分
$$
I=\iint_D \frac{1}{3 x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\int_0^x e^{t^2} d t}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$.
曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2(x \geq 0, y \geq 0)$与 $x$ 轴围成的区域为 $D$ ，计算二重积分 $I=\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域.
已知可微函数 $f(u, v)$ 满足
$$
\frac{\partial f(u, v)}{\partial u}-\frac{\partial f(u, v)}{\partial v}=2(u-v) e^{-(u+v)}
$$
且 $f(u, 0)=u^2 e^{-u}$.
(1) 记 $g(x, y)=f(x, y-x)$ ，求 $\frac{\partial g(x, y)}{\partial x}$.
(2) 求 $f(u, v)$ 的表达式和极值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，证明 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件为对不同实数 $a, b$ ，
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+4 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_3
$$
(1) 求正交变换 $X=Q Y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形；
(2) 证明: $\min _{x \neq 0} \frac{f(x)}{x^T x}=2$.