单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $y=\frac{1}{x+2}$ 的垂直渐近线方程是
$\text{A.}$ $x=-2$
$\text{B.}$ $y=0$
$\text{C.}$ $y=-2$
$\text{D.}$ $x=0$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 2 x}{x}$ 的值为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
若函数 $y=2 x^4-3 x^2$ ，则 $y^{\prime}$ 为
$\text{A.}$ $8 x^3-6 x$
$\text{B.}$ $8 x^3-6 x^2$
$\text{C.}$ $4 x^3-3 x$
$\text{D.}$ $4 x^3-3 x^2$
曲线 $y=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $y=3 x-2$
$\text{B.}$ $y=3 x+2$
$\text{C.}$ $y=x-2$
$\text{D.}$ $y=x+2$
函数 $y=\sin (3 x)$ 的导数是
$\text{A.}$ $\cos (3 x)$
$\text{B.}$ $3 \cos (3 x)$
$\text{C.}$ $-\cos (3 x)$
$\text{D.}$ $-3 \cos (3 x)$
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $F(x)=x^3+1$ ，则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $3 x^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x^4+x$
$\text{C.}$ $x^3$
$\text{D.}$ $3 x^2+C$ $C$ 为常数
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=$
已知 $y=x^m,\left.y^{\prime}\right|_{x=2}=4$ ，则 $m=$
$\int \frac{1}{x^2} d x=$
曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
过点 $(2,-1,4)$ 且与平面 $3 x+2 y-z=0$ 平行的平面方程
求 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ 。
求函数 $y=x^3-6 x^2+9 x-1$ 的极值。
求由曲线 $y=x^3$ 与 $y=x(x \geq 0)$ 所围成的平面图形的面积。
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求过直线 $l_1:\left\{\begin{array}{c}2 x+y-z-1=0 \\ 3 x-y+2 z-2=0\end{array}\right.$ 且平行于直线 $l_2:\left\{\begin{array}{c}5 x+y-z+4=0 \\ x+y-z-4=0\end{array}\right.$ 的平面方程．
一楼房的后面是一个很大的花园．在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园 2 m ，高 3 m ，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上．因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的．现清洁工只有一架 7 m 长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？
设一球从 100 米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第 10 次反弹了多高？而第 10 次落地时，累计运动了多少米？第 100 万次落地时的情形又如何？
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)^{\mathrm{n}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) d t}{x^2}$ ，其中 $f(x)$ 是一个连续函数．
求二元函数 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}(x+2 y) \ln \left(x^4+y^4\right)$ 的极限．
过原点作抛物线 $y=f(x)=\sqrt{x-1}$ 的切线，设 $D$ 是该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成的平面区域。求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
$\int \frac{x^2-7}{x^2+x-2} d x$ ．
$\int \arctan \sqrt{x} d x$ ．
求原点到直线
$$
L:\left\{\begin{array}{l}
x-z+2=0 \\
-y+2 z-1=0
\end{array}\right.
$$
的垂线方程．
求 $f(x)=\sqrt{1+x} \sin x$ 在 $x=0$ 点的带皮亚诺余项的 3 阶泰勒展式，并求 $f^{(3)}(0)$ 的值．
设 $2 n$ 次多项式 $P_{2 n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2 n}(-1)^k \frac{x^k}{k}$ ，分析多项式的单调性，由此证明该多项式没有零点．
求由方程 $e^{x y}-\ln \left(x^2+y\right)=1$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的微分．
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x-\tan x$ 是 $x$ 的多少阶无穷小量？
讨论函数 $f(x, y)=|x \sin y|$ 在 $(0,0)$ 处的可微性
设 $u=e^{x y} \sin \left(x^2+y^2\right)$ ，求该函数的一阶偏导数与全微分．
设函数 $f(x, y)$ 有连续的二阶偏导数，
$$
z=f\left(x_0+t\left(x_1-x_0\right), y_0+t\left(y_1-y_0\right)\right),
$$
求 $\frac{d^2 y}{d t^2}$ ．
证明题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x}$
已知 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在区间 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$
求曲线 $y=x^2+2$ 与直线 $x=0, y=3$ 围成的平面图形在第一象限部分的面积，并求此部分绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积 V 。
作函数 $y=f(x)=\frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|x-2|}$ 的图形，并填写下列表格．
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x+\cos x} d x$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续可微，$f(0)=0$ ，证明在 $(0,1)$ 中存在一点 $\xi$ ，满足
$$
(1-\xi) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)
$$
证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)>0, f(b) < 0$ ，则在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。