单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+y^2, & x y=0 \\ 1, & x y \neq 0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处（ ）．
$\text{A.}$ 连续，一阶偏导数不存在
$\text{B.}$ 不连续，一阶偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，一阶偏导数存在
$\text{D.}$ 连续，一阶偏导数存在
曲线 $L:\left\{\begin{array}{c}x=t^2 \\ y=8 / \sqrt{t} \\ z=4 \sqrt{t}\end{array}\right.$ 在点$(16,4,8)$ 处的法平面方程是
$\text{A.}$ $8 x-y-2 z=108$
$\text{B.}$ $16 x-y+2 z=268$
$\text{C.}$ $8 x-y-2 z=140$
$\text{D.}$ $16 x-y+2 z=244$
常数 $a>0$ ，则第一型曲面积分 $\iint_{x^2+y^2+z^2=a^2} x^2 d S$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{4}{3} \pi a^4$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \pi a^2$
$\text{C.}$ $4 \pi a^4$
$\text{D.}$ $4 \pi a^2$
下列级数中，绝对收敛的是（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$
已知 $f^{\prime}(3)=2$ ，则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $-3 / 2$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小中与 $x^2$ 为同阶无穷小的是
$\text{A.}$ $1-e^x$
$\text{B.}$ $\ln \left(1-x^3\right)$
$\text{C.}$ $\arcsin \left(3 x^2\right)$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+x^4}-1$
如果 $f(x)$ 的导数为 $\cos x$ ，则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{e^x-1-x}, & x < 0 \\ a \quad, & x=0 \\ x \sin \frac{1}{x}+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值为
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=0, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=-1$
曲线 $y=\frac{x^2-1}{x^2-2 x-3}$ 有
$\text{A.}$ 一条水平渐进线，一条铅直渐近线
$\text{B.}$ 一条水平渐进线，两条铅直渐近线
$\text{C.}$ 两条水平渐进线，一条铅直渐近线
$\text{D.}$ 没有水平渐进线，两条铅直渐近线
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点附近有二阶连续导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{1-\cos x}=1$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，但 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$ ，且 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值。
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=0$ ，且 $(0, f(0))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点。
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，且 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值。
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-5}{n}\right)^{k n}=e^{-10}$ ，则 $k=$
$\int_{-2}^2\left(\frac{x}{1+x^2}+|x|\right) d x=$
设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-u^2} d u$ ，则 $d F(x)=$
已知函数 $f(x)=\sin ^2 x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$
若 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$y=f(x)$ 是由方程 $x^3+y^3-\sin x+6 y=0$ 所确定，则 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=$
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知直线 $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y}{0}=\frac{z-1}{-4}$ ，平面 $\Sigma: x+2 y+2 z=5$ ，求直线 $L_1$ 与平面 $\Sigma$ 的夹角．
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，求 $d z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
求微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=e^{-2 x}$ 的通解．
计算二重积分 $\iint_D e^{-\frac{y^2}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0 、 y=1$ 及 $y=x$ 所围成的区域．
计算三重积分 $\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq R^2}\left(x^2+y^2+x z\right) d x d y d z$ ，其中常数 $R>0$ ．
设抛物面 $\Sigma$ ：$z=1-x^2-y^2(z \geq 0)$ ，方向取其上侧，计算 $\iint_{\Sigma} 2 x^3 d y d z+2 y^3 d z d x+2 d x d y$ ．
将 $f(x)=\frac{1}{1+2 x}$ 展开为 $(x+2)$ 的幂级数，并求该幂级数的收敛域．
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点，使该点到直线 $2 x+3 y-12=0$ 的距离最短．
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$
求不定积分 $\int \frac{x^2}{\sqrt{\left(4-x^2\right)^3}} d x$
计算定积分 $\int_0^1 e^{\sqrt{3 . x+1}} d x$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$
求函数 $f(x)=x e^x$ 的带有佩亚诺（peano）余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。
根据函数极限定义证明 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}=4$
证明当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$
$D_1$ 是由 $y=2 x^2, x=2, x=a, y=0$ 所围成的平面图形；$D_2$ 是由 $y=2 x^2, x=a, y=0$ 所围成的平面图形，其中 $0 < a < 2$ ，
（1）分别求 $D_1$ 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积 $V_1$ 和 $D_2$ 绕 $y$ 轴旋转一周所生成的旋转体体积 $v_2$ ；
（2）问 $a$ 为何值时，$v_1+v_2$ 最大，并求最大值。
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ ；
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}, \alpha>0$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ ．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数敛散性。若非正项级数需讨论条件收敛和绝对收敛性。
（1）$\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right), \alpha>0$ ．
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 0 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和。 4．（8 分）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减小，且 $a_n \geq 0(n=1,2, \cdots)$ ，又级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散．证明：级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n$ 收敛．