单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $2(x y+x) y^{\prime}=y$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C e^{2 x}$
$\text{B.}$ $y^2=C e^{2 x}$
$\text{C.}$ $y^2 e^{2 y}=C x$
$\text{D.}$ $e^{2 y}=C x y$
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$ ，则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
方程 $x=\sin x+2$ 有实根的区间是 ．
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, 3\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
设 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 $A$
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
若函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\int_{\sin x}^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=$ 。
$\text{A.}$ $f(\sin x)$
$\text{B.}$ $f(\sin x) \cos x$
$\text{C.}$ $f(-\cos x)$
$\text{D.}$ $-f(\sin x) \cos x$
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
下列广义积分收敛的是 ．
$\text{A.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
经过 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程为
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^p}$ ，当 $p$ 满足 $\_\_\_\_$条件时级数条件收敛
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+m & , x < 1 \\ x^2+3 & , x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $m=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{k}{x}}=e^{-2}$ ，则 $k=$
曲线 $y=e^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
$\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{x^2+\cos x+2} d x=$
方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上 $2 \pi$ 周期的奇函数。在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ．
（1）证明：$\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ((2 n-1) x)}{(2 n-1)^3}$ ；
（2）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6}$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-e^{-x}\right)}{(1+x)^m} d x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围。
判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \ln x}{x^2} d x$ 的敛散性。
设 $f(t)=\left(\int_0^t e^{-x^2} d x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{e^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} d x$ ．证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
设 $z=z(x, y)$ 为方程 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x-4 y+3 z$ 确定的隐函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
求曲线积分 $\int_L(x+y) d x+(x-y) d y$ ，其中 $L$ 沿 $x^2+y^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0)$ ，逆时针方向。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求其成立的区间。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1)!}$ 的和函数。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，$L$ 围成的平面区域为 $D$ ，已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2 \sin x}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x+1}} d x$
设 $y=\frac{1}{2 x+3}$ 求 $y^{(n)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$ ，
（1）求 $f(0)$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 是否可导？
已知曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dc}^2}$ ．
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $x \ln x$ ，求 $\int_1^e x f(x) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ 的特解．