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设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，$L$ 围成的平面区域为 $D$ ，已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
                        
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