单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
$x o y$ 面上的曲线 $x^2-y^2=1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的方程为
$\text{A.}$ $x^2+y^2+z^2=1$ ；
$\text{B.}$ $x^2-y^2+z^2=1$ ；
$\text{C.}$ $x^2+y^2-z^2=1$ ；
$\text{D.}$ $x^2-y^2-z^2=1$ ．
．曲线 $x=t, y=t^2, z=t^3$ 在点 $(-1,1,-1)$ 处的法平面方程是
$\text{A.}$ $x-2 y-3 z+6=0$ ；
$\text{B.}$ $x-2 y+3 z+4=0$ ；
$\text{C.}$ $x-2 y+3 z+6=0$ ；
$\text{D.}$ $x-2 y-3 z+4=0$ ．
设 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 及三个坐标面围成的在第一卦限的那部分空间闭区域，则将三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) d V$ 化为三次积分，正确的结果是
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} d y \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z ;$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-y^2}} d y \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z$ ；
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-y^2}} d y \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z ;$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} d y \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} f(x, y, z) d z$.
已知对坐标的曲线积分 $\int_L\left(2 x \sin y+m x^2 y\right) d x+\left(x^3+x^2 \cos y+y^2\right) d y$在全平面内与路径无关，$L$ 为平面上任一曲线，则常数 $m=$
$\text{A.}$ 1 ；
$\text{B.}$ 2 ；
$\text{C.}$ 3 ；
$\text{D.}$ 4 ．
如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处收敛，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 当$|x| < 2$ 时级数绝对收敛；
$\text{B.}$ 当 $|x| < 2$ 时级数条件收敛；
$\text{C.}$ 当 $|x|>2$ 时级数发散；
$\text{D.}$ 以上结论都不对．
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=\left(x^2-x+1\right) e^{2 x}$的特解形式可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $a x^2+b x+c$ ；
$\text{B.}$ $\left(a x^2+b x+c\right) e^{2 x}$ ；
$\text{C.}$ $\left(a x^3+b x^2+c x\right) e^{2 x}$ ；
$\text{D.}$ $\left(a x^4+b x^3+c x^2\right) e^{2 x}$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 存在，但不能确定其值
$\text{C.}$ 不存在
$\text{D.}$ 不能确定其是否存在
当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小量 $\alpha=\sqrt{x+3}-2$ 与 $\beta=\frac{x^2-1}{k x+5}$ 是等价无穷小，则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 任意实数
使函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^2\left(1-x^2\right)}$ 适合罗尔定理条件的区间是
$\text{A.}$ $[0,1]$
$\text{B.}$ $[-1,1]$
$\text{C.}$ $[-2,2]$
$\text{D.}$ $[-3 / 5,4 / 5]$
下列广义积分中，发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x}}$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{x \tan x}$
$\text{C.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{d x}{x^\pi}$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{d x}{x(\ln x)^2}$
若 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{c}+\vec{a})=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设平面 $\pi_1: 2 x+3 \lambda y+3 z=2$ 与 $\pi_2: 4 x-3 y+6 z=1$ 平行，则 $\lambda=$
设 $z=x^y$ ，则二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ，则二重积分 $\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} d x d y=$
设 L 为 $y=3 x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(1,3)$ 的一段直线，则对弧长的曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) d s=$
微分方程 $\frac{d y}{d x}=e^{x-y}$ 的通解是
$\lim _{x \rightarrow 0}(1-3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{P x^2-(1+P) x+1}{x^2+Q}=2$ ，则 $P=$ $\_\_\_\_$ ，$Q=$ $\_\_\_\_$
$e^{x y}=2 x+y$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ，$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(x^3+1\right) \cos x d x=$
若两直线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{\lambda}=\frac{z}{2}, \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$ 相交，则 $\lambda=$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知点 $(1,-1)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+c$ 的拐点，且该曲线在 $x=0$ 处有极值为 1 ．试确定 $a, b, c$ 的值．
求由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围平面图形的面积，并求该平面图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+x=e^{z-y}$ 所确定，求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及全微分 $d z$
设二元函数 $z(x, y)=e^{a x^2+b y^2+4 x-y+1}$ 在点 $(1,1)$ 处取得极值，求 $a 、 b$ 的值
交换二次积分 $I=\int_1^2 d x \int_{\frac{1}{x}}^1 y e^{x y} d y$ 的积分次序，并求出 $I$ 的值
计算对坐标的曲线积分 $\oint_L\left(2 x-x y^2\right) d x+\left(y^2-2 x y\right) d y$ ，其中积分路径 $L$ 是以 $(0,0) 、(1,1) 、(0,1) 、(1,0)$ 为顶点的正方形区域的取正向的整个边界
将函数 $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ 展开成关于 $(x-2)$ 的幂级数，并指出其收敛区间
设有幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3^n x^n}{n+1}$ ，
（1）求其收敛半径；
（2）指出其收敛区间；
（3）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域。
设有二阶常系数非齐次线性微分 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ ．求
（1）求对应的常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ 的通解；
（2）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的一个特解；
（3）求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=4 e^x$ 的通解．
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$
设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(0)=0$ ，求 $a$ 使 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x^2} \int_0^x f(t) d, t x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}\right.$ 处处连续
讨论函数 $f(x)=\frac{2 x-1}{(x-1)^2}$ 及其图形的单调性及凹凸性，极值和拐点．
设曲线方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求曲线在点 $\left(\ln 2,1-\frac{\pi}{4}\right)$ 处的曲率
$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x} d x$
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明： $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．
证明曲面 $(z-2 x)^2=(z-3 y)^3$ 上任一点处的法线都平行于平面 $3 x+2 y+6 z-1=0$