单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}, \mu=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ ．
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
具有特解 $y_1=e^{-x}, y_2=2 x e^{-x}, y_3=3 e^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}+\boldsymbol{y}^{\prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}-\boldsymbol{6} \boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\mathbf{1 1} \boldsymbol{y}^{\prime}-\mathbf{6} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y=e^x+1$ 的一个特解应具有形式为（以下 $a, b$为常数） ）．
$\text{A.}$ $a e^x+b$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{x} \boldsymbol{e}^x+\boldsymbol{b}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{x} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}$
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是 $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
设 $y_1(x) 、 y_2(x) 、 y_3(x)$ 是非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的三个线性无关的解，$C_1 、 C_2$ 是任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（ ）。
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+C_3$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
填空题 （共 14 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 $\_\_\_\_$间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_{\arccos x}^{\ln x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin x}{x}-3 x \sin \frac{1}{x}\right)=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $a=$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}\right.$ 上对应 $t=1$ 的点处的法线斜率为
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设函数 $y=e^{\pi-3 x} \cos 3 x$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\frac{\pi}{3}}=$
过点 $(1,2,3)$ 且与直线 $\frac{x-3}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}$ 平行的直线方程为
设 $f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$
累次积分 $\int_0^2 d x \int_{x^2}^{2 x} f(x, y) d y$ 交换积分次序后为
已知曲线 $L: x^2+y^2=a^2$（常数 $a>0$ ），则 $\oint_L x^2 d s=$
已知 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，在 $(-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-\pi, & -\pi < x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq \pi\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的傅立叶级数在 $x=0$ 处收敛于
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}, \\ y(1)=y^{\prime}(1)=1 .\end{array}\right.$
已知 $y_1=x e^x+e^{2 x}, y_2=x e^x+e^{-x}, y_3=x e^x+e^{2 x}+ e^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，试求该微分方程．
已知 $y_1=e^x$ 和 $y_2=x e^x$ 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，试求该微分方程．
试求三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的通解．
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\
y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4
\end{array}\right.
$$
求广义积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ ．
$y^{(4)}+y^{\prime \prime}=x+e^x+3 \sin x$ ．
$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x \cdot 2^x+\cos x$ ．
$(2 x-1)^2 \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-4(2 x-1) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+8 y=8 x$ ．
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$ ．
有高为 $\boldsymbol{H ~ c m}$ 的半球容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面面积为 $\boldsymbol{S} \mathrm{cm}^2$ ，开始时容器盛满水，问多久水会流完？已知水高度为 $h$ 的小孔水流出的速度为 $0.62 \sqrt{2 g h}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})$ ．
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $\boldsymbol{S}$ 成正比，比例常数 $\boldsymbol{K} \boldsymbol{>} \mathbf{0}$ 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？
设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受到重力的作用下垂，试问该绳索在平衡状态下是怎样的曲线？
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sin x-1}{\arcsin x^2}$
设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$
求函数 $f(x)=x \sin x+\cos x$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 内的极值
求曲线 $y=(x-5) \sqrt[3]{x^2}$ 的凹凸区间及拐点
求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{2}, \quad 0 \leq x \leq \pi \\ 0, \quad x < 0 \text { 或 } x>\pi\end{array}\right.$ ，求 $\phi(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：当 $e < a < b < e^2$ 时， $\ln ^2 b-\ln ^2 a>\frac{4}{e^2}(b-a)$