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智库“题”升（2025春-第四周）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x, y) = e^{\sqrt{x^{2} + y^{4}}}

，则函数在原点偏导数存在的情况是（）

A.

f_{x}^{'} (0, 0)

存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

存在．

B.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

存在．

C.

f_{x}^{'} (0, 0)

存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

不存在．

D.

f_{x}^{'} (0, 0)

不存在，

f_{y}^{'} (0, 0)

不存在．

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2. 函数

f (x, y) = \sqrt{| x y |}

在点

(0, 0)

处

A.

偏导数不存在

B.

偏导数存在，但不可微

C.

可微但偏导数不连续

D.

偏导数连续

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 设

u = f (x, y, z) = e^{x + 2 y + 3 z}, z = x^{2} \cos y

, 则

\frac{\partial u}{\partial y} =

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 求极限

lim_{\begin{matrix} x \to + \infty \\ y \to + \infty \end{matrix}} {(\frac{x y}{x^{2} + y^{2}})}^{x^{2}} \sin (x y)

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5. 求极限:

lim_{\begin{matrix} x \to \infty \\ y \to \infty \end{matrix}} \frac{x + y}{x^{2} - x y + y^{2}}

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6. 证明

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

．

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7. 设

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}, x^{2} + y^{4} \neq 0 \\ 0, x^{2} + y^{4} = 0 . \end{cases}

，判断

f (x, y)

在

(0, 0)

的连续性

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8. 求极限

lim_{\begin{matrix} x \to \infty \\ y \to a \end{matrix}} {(1 + \frac{1}{x y})}^{\frac{x^{2}}{x + y}} (a \neq 0)

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9. 证明极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + (x - y)^{2}}

不存在．

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10. 验证：

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

满足

\frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}} = \frac{2}{r}

．

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