单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots \cdots, \sqrt[n]{n} $ 的最大项为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $\sqrt[3]{3}$.
$\text{C.}$ $\sqrt[4]{4}$.
$\text{D.}$ $\sqrt[5]{5}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{a^x-1}=\frac{1}{2}(a>0, a \neq 1)$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[(3+2 \tan t)^t-3^t\right] \mathrm{d} t}{\mathrm{e}^{3 x^3}-1}$.
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
数列 $x_n=n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$
数列极限 $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$
(I) 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明:
$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)(k=1,2, \cdots)
$$
(II) 证明 : $\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n$, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$.
设 $f(x)=a+b x+c x^2+d x^3-\tan x$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小, 则 $a+b+c+d=$