考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

数列 $x_n=n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=$

答案：

转化为函数极限后再用洛必达法则.
$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n & =\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\frac{\ln (1+t)}{t}}{t} \\
& =\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t-\ln (1+t)}{t^2}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\frac{1}{1+t}}{2 t}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

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