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设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{a^x-1}=\frac{1}{2}(a>0, a \neq 1)$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
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