题号:6603    题型:填空题    来源:考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{a^x-1}=\frac{1}{2}(a>0, a \neq 1)$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$.
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答案：
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解: 由已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{a^x-1}=\frac{1}{2}$, 结合极限和无穷小的关系, 有
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\frac{\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right]}{a^x-1}=\frac{1}{2}+\alpha,
$$
其中 $\lim _{x \rightarrow 0} \alpha=0$. 又当 $x \rightarrow 0$ 时, $a^x-1 \sim x \ln a$, 所以有
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\ln \left[1+\frac{f(x)}{\sin x}\right] \sim \frac{1}{2} x \ln a+\alpha x \ln a
$$
从而 $\frac{f(x)}{\sin x} \sim \frac{1}{2} x \ln a$ (这里 $\alpha x \ln a$ 是比 $x$ 高阶的无穷小), 即有 $\frac{f(x)}{x} \sim \frac{1}{2} \sin x \ln a$, 故
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \sin x \ln a}{x}=\frac{1}{2} \ln a
$$
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