题号:6599    题型:解答题    来源:考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学
(I) 设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上单调减少且非负的连续函数. 证明:
$$
f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)(k=1,2, \cdots)
$$
(II) 证明 : $\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n$, 并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}$.
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答案：
答案：
解 (I) 由 $f(x)$ 单调减少且非负连续, 可知当 $x \in[k, k+1]$ 时, 有 $f(k+1) \leqslant f(x) \leqslant f(k)$, 故
$$
\int_k^{k+1} f(k+1) \mathrm{d} x \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_k^{k+1} f(k) \mathrm{d} x,
$$
即 $f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x \leqslant f(k)$.
(II) 若取 $f(x)=\frac{1}{x}(x>0)$, 显然 $f(x)$ 单调减少且非负, 则由 (I) 知
$$
\frac{1}{n+1} \leqslant \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{n}
$$
故
$$
\begin{aligned}
\int_1^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x & =\int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+\int_2^3 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+\cdots+\int_n^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\
& \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}, \\
1+\int_1^n \frac{1}{x} \mathrm{~d} x & =1+\int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+\int_2^3 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x+\cdots+\int_{n-1}^n \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\
& \geqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} .
\end{aligned}
$$
又因为
$$
\int_1^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^{n+1}=\ln (1+n), \int_1^n \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln x\right|_1 ^n=\ln n,
$$
所以
$$
\ln (1+n) \leqslant 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \leqslant 1+\ln n
$$
由上式, 可知
$$
\frac{\ln (1+n)}{\ln n} \leqslant \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n} \leqslant \frac{1+\ln n}{\ln n}
$$
又由于
$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\ln n}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}+1=1, \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (1+n)}{\ln n}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (1+x)}{\ln x} \stackrel{\text { 洛 }}{=} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{\frac{1}{x}}=1,
\end{gathered}
$$
故由夹逼准则, 可知
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}=1
$$
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