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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

为已知连续函数,

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

, 其中

t > 0, s > 0

, 则

I

的值 ( )

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

, 不依赖于

s

D.

依赖于

s

, 不依赖于

t

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2. 当

x > 0

时,曲线

y = x \sin \frac{1}{x}

（　　）

A.

有且仅有水平渐近线.

B.

有且仅有铅直渐近线.

C.

既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.

D.

既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 当

x =

（　　）时, 函数

y = x 2^{x}

取得极小值.

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4. 已知

f^{'} (3) = 2

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 - h) - f (3)}{2 h} =

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5. 设

f (x)

是连续函数, 且

f (x) = x + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

, 则

f (x) =

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6. 设

a

为非零常数, 则

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + a}{x - a})}^{x} =

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7. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1, & | x | \leq 1, \\ 0, & | x | > 1, \end{cases}

则

f [f (x)] =

（　　）

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三、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 求正常数

a

与

b

, 使等式

lim_{x \to 0} \frac{1}{b x - \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a + t^{2}}} d t = 1

成立.

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9. 已知

f (x) = e^{x^{2}}, f [φ (x)] = 1 - x

且

φ (x) ⩾ 0

, 求

φ (x)

并写出它的定义域.

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10. 设 3 阶矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

有 3 个不同的特征值，且

α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}

。
(1) 证明

r (A) = 2

；
(2) 如果

β = α_{1} + α_{2} + α_{3}

, 求方程组

A x = β

的通解.

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11. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2}

- 8 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

在正交变换

x = Q y

下的标准型为

λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2}

求

a

的值及一个正交矩阵

Q

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