一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设在 $[0,1)$ 上 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0) < f^{\prime}(1) < f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $ f^{\prime}(0) < f(1)-f(0) < f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0) < f(1)-f(0)$
$\text{D.}$ $f(1)-f(0) < f^{\prime}(1) < f^{\prime}(0)$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$. 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值为 $1,2,3, A_{11}, A_{22}, A_{33}$ 为 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式, 则 $A_{11}+$ $A_{22}+A_{33}=$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
三、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & 0 < x < 2,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 问:
（1） $X, Y$ 独立吗？说明理由;
(2) $E\left(X^2 Y\right)$;
(3) $P(X>Y)$
设可导函数 $ f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
( I ) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
(II) 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题 (本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A+$ )
设 $f \in C[0,1] ， g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) \mathrm{d} x=\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)\left(\int_0^1 g(x) \mathrm{d} x\right) 。
$$