一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续, $f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=2$, 则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -3
若二元函数 $f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数, 且满足 $f(x, y)=-f(y, x)$, 则下列结论中, 错误的是
$\text{A.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=f_{22}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{B.}$ $f_{11}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{22}^{\prime \prime}(y, x)$.
$\text{C.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=f_{21}^{\prime \prime}(x, y)$.
$\text{D.}$ $f_{12}^{\prime \prime}(x, y)=-f_{21}^{\prime \prime}(y, x)$.
设 $I_1=\iint_D \sin \left|\frac{x-y}{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}|x-y|^a \frac{\sin x y^2}{x^2+y^4}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 给出以下结论:
(1) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 且偏导数存在;
(2) 当 $\alpha \geqslant 1$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微;
(3) 当 $\alpha>2$ 时, $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续;
(4) 当 $\alpha>0$ 时, $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿任意方向的方向导数均存在.
其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解, 其中常数 $a < 0, b>0$, 且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x) $.
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 无关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 有关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 无关,与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 有关, 与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $a>0, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{a \mathrm{e}^{2|x|}+\mathrm{e}^{|x|}}-a(x+\ln |x|) \mathrm{e}^{|x|}}{\sqrt{x^2+\ln |x|} \mathrm{e}^{|x|}}$ 存在, 则 $a=$
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x \cos x+\mathrm{e}^{-x} \sin x$, 则 $f^{(2023)}(0)=$
设有一底面半径为 $r$, 高为 $h$ 的圆椎型容器, 该容器将圆椎顶点朝下放置. 从装满水的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_1$, 从初始液面高度为 $\frac{h}{3}$ 的容器中将水全部抽出需克服重力做功 $W_2$, 则 $\frac{W_1}{W_2}=$
圆 $x^2+y^2=3$ 上到点 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的距离的平方和最小的点为
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求定积分: $I=\int_0^{2024} \frac{x}{e^{2024-x}+e^x} \mathrm{~d} x$.
设由 $\ln \sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了 $y=y(x)$, 求 $\frac{d y}{d x}$.
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=2$. 对每个正数 $r$, 令平面区域 $D_r=$ $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant r^2\right\}$, 并选取一点 $(\xi, \eta) \in D_r$ 使得 $\iint_{D_r} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\pi r^2 f\left(\xi^2+\eta^2\right)$. 求 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi^2+\eta^2}{r^2}$
设函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续正值函数, $F(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的连续函数, 且对 $x \in(0, \pi)$, $F(x)=\frac{\int_0^x(1-\cos t) f(t) \mathrm{d} t}{\int_0^x t^2 f(t) \mathrm{d} t}$. 求 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值.
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$, 其中
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant \sec \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{4}\right\} .
$$
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{2 n^2}}\right)$
若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调增加的连续函数, 证明:
$$
\frac{\int_0^1 x f^3(x) d x}{\int_0^1 x f^2(x) d x} \geq \frac{\int_0^1 f^3(x) d x}{\int_0^1 f^2(x) d x}
$$
设函数 $f(u)$ 具有 2 阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x^2-y^2}\right)$ 满足 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=16 z\left(x^2+y^2\right)$, 若 $f(1)=0$, $f^{\prime}(1)=2$.
(I) 求 $f(u)$ 的表达式;
(II) 记 $g(x, y)=3 x y-x^3-y^3$, 求 $f[g(x, y)]$ 的极值.