一、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为
设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为
二、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$T \in \mathcal{L}(V)$. 有极分解 $T=S \sqrt{G}$, 其中 $S$ 是等距同构, $G=T^* T$. 证明以下条件等价:
1. $T$ 是正规算子;
2. $G S=S G$;
3. $G$ 的所有特征空间 $E(\lambda, G)$ 都是 $S$-不变的.
设数域 $P$ 上多项式 $f(x)=x^5+x^4+2 x^2+1, g(x)=x^4-x^2+2 x-1$, 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的首 1 最大公因式 $(f(x), g(x))$, 以及多项式 $u(x), v(x)$, 使得 $u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$.
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间, 证明: $W$ 的正交补 $W^{\perp}$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间.
记 $V=\mathbb{R}[x]_4$ 为次数小于 4 的实系数一元多项式组成的线性空间, 定义 $V$ 上的映射 $\varphi$ 为 $\varphi(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$.
(1) 求 $\varphi$ 在基 $1, x, x^2, x^3$ 下的矩阵.
(2) 求 $\varphi$ 的特征值与特征向量.
设 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{R}), n$ 为大于 1 的奇数, $\boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A}^*$, 求 $\operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}\right)$.
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 且 $\boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $V$中的两个向量组, 其秩分别是 $r_1, r_2$, 若 $\boldsymbol{C} \in M_{r \times s}(\mathbb{K})$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_j=\sum_{i=1}^r c_{i j} \boldsymbol{\alpha}_i, j=1,2, \cdots, s .$
证明: $\mathrm{r}(\boldsymbol{C}) \leq r_2-r_1+r$.
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in M_n(\mathbb{R}), \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$, 证明: $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 相似.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶非异阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n$, 剩余的指标记为 $1 \leq i_{r+1} < \cdots < i_n \leq n$. 证明:
$$
|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}
i_{r+1} & \cdots & i_n \\
i_{r+1} & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi}$ 是 $V$ 上的线性变换,满足 $\varphi \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi} \varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得 $\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{\varphi}^m+\boldsymbol{\psi}^m\right)=\operatorname{Im} \varphi^m+\operatorname{Im} \boldsymbol{\psi}^m$.
设 $\varphi_1, \cdots, \varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leq i \leq k), \varphi_i \varphi_j=0(1 \leq i < j \leq k)$. 求证:
$$
V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_k \oplus\left(\bigcap_{i=1}^k \operatorname{Ker} \varphi_i\right) .
$$
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n(n>1)$ 阶方阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}}, \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_{\boldsymbol{A}} \oplus V_{\boldsymbol{A}^*}$ 成立的充要条件是 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^*\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实方阵, $\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \cdots\right.$, $\left.d_n\right\}, d_i>0(1 \leq i \leq n)$, 满足:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{i} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D} & \mathrm{i} \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{C}
\end{array}\right|=0,
$$
其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $\left|B^2+C^2\right|=0$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 为对称阵. 证明:
$
|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,
$
并求等号成立的充要条件.
设 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}$, 其中 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{C})$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.