填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow 2}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\varphi\left(x^2+y\right)+x^y$, 其中 $\varphi$ 具有连续二阶偏导数,则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
曲面 $z=\arctan (x y)$ 在点 $P\left(1,1, \frac{\pi}{4}\right)$ 处的法线方程为
函数 $f(x, y, z)=z-e^2+2 x y+1$ 在点 $(2,1,0)$ 处的方向导数的最大值为
设 $\left\{\begin{array}{c}x=-u^2+v+z \\ y=u+v z\end{array}\right.$ 确定 $u=u(x, y, z), v=(x, y, z)$, 则 $\frac{\partial u}{\partial x}=$
幂函数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2 n}}{9^n}$ 的收敛区域是
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x,-1 < x \leq 0 \\ 1-x^2, 0 < x \leq 1\end{array}\right.$, 是周期为 2 的周期函数, 则其傅里叶级数在点 $x=4$ 处收敛于
设 $\sum: x^2+y^2+z^2=R^2$ 外侧, 则 $\iint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3 / 2}}=$
已知 $\overrightarrow{ {A}}= {y} \vec{i}+2 z^2 \vec{j}+ {xy} \vec{k}, \vec{B}= {x}^2 \vec{i}+ {y} \vec{j}+ {z} \vec{k}$, 则 $\operatorname{div}(\overrightarrow{ {A}} \times \vec{B})=$
设 $L$ 为取正向的圆周 $x^2+y^2=9$, 则曲线积分 $\int_L(2 x y-2 y) d x+\left(x^2-4 x\right) d y=$ （用格林公式易）
将函数 $f(x)=\frac{12-5 x}{6-5 x-x^2}$ 在点 $x_0=2$ 处展开成泰勒级数, 并指出其收敛域.
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=x^3 f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u, v)$ 具有连续二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设 $V$ 是由曲面积分 $\sum_1: x^2+y^2=a z$ 和 $\sum_2: z=2 a-\sqrt{x^2+y^2} \quad(a>0)$ 所围成的空间封闭图形。求（1） $V$ 的体积；（2） $V$ 的表面积。
确定参数 $\lambda$ 的值, 使得在不经过直线 $y=0$ 的区域上, 曲面积分 $I=\int_L \frac{x\left(x^2+y^2\right)^\lambda}{y} d x-\frac{x^2\left(x^2+y^2\right)^\lambda}{y^2} d y$ 与路径无关, 并求当 $L$ 为从 $A(1,1)$ 到 $B(0,2)$ 时 $I$的值.
求函数 $z=f(x, y)=x^2 y(4-x-y)$ 在由直线 $x+y=6 、 x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$上的最大值和最小值.
计算 $\iint_{\Sigma} y^2 d y d z+z^2 d z d x+x^2 d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为旋转抛物面 $\mathrm{z}=x^2+y^2$ 被平面 $\mathrm{z}=1$所截得部分的外侧.
已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime}=x+y$ ，且 $y(0)=1$ ，证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right]$ 绝对收敛。