北京邮电大学《高等数学》第二学期期末考试试卷

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北京邮电大学《高等数学》第二学期期末考试试卷

一、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 极限

lim_{\begin{matrix} x \to \infty \\ y \to 2 \end{matrix}} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{2 x^{2}}{x + y}} =

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2. 设

z = φ (x^{2} + y) + x^{y}

, 其中

φ

具有连续二阶偏导数,则

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} =

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3. 曲面

z = \arctan (x y)

在点

P (1, 1, \frac{π}{4})

处的法线方程为

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4. 函数

f (x, y, z) = z - e^{2} + 2 x y + 1

在点

(2, 1, 0)

处的方向导数的最大值为

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5. 设

{\begin{matrix} x = - u^{2} + v + z \\ y = u + v z \end{matrix}

确定

u = u (x, y, z), v = (x, y, z)

, 则

\frac{\partial u}{\partial x} =

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6. 幂函数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 1)^{2 n}}{9^{n}}

的收敛区域是

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7. 设

f (x) = {\begin{matrix} - x, - 1 < x \leq 0 \\ 1 - x^{2}, 0 < x \leq 1 \end{matrix}

, 是周期为 2 的周期函数, 则其傅里叶级数在点

x = 4

处收敛于

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8. 设

\sum : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

外侧, 则

\iint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3 / 2}} =

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9. 已知

\vec{A} = y \vec{i} + 2 z^{2} \vec{j} + x y \vec{k}, \vec{B} = x^{2} \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}

, 则

div (\vec{A} \times \vec{B}) =

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10. 设

L

为取正向的圆周

x^{2} + y^{2} = 9

, 则曲线积分

\int_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y =

（用格林公式易）

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11. 将函数

f (x) = \frac{12 - 5 x}{6 - 5 x - x^{2}}

在点

x_{0} = 2

处展开成泰勒级数, 并指出其收敛域.

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二、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 设

z = x^{3} f (x y, \frac{y}{x})

, 其中

f (u, v)

具有连续二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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13. 设

V

是由曲面积分

\sum_{1} : x^{2} + y^{2} = a z

和

\sum_{2} : z = 2 a - \sqrt{x^{2} + y^{2}} (a > 0)

所围成的空间封闭图形。求（1）

V

的体积；（2）

V

的表面积。

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14. 确定参数

λ

的值, 使得在不经过直线

y = 0

的区域上, 曲面积分

I = \int_{L} \frac{x {(x^{2} + y^{2})}^{λ}}{y} d x - \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{λ}}{y^{2}} d y

与路径无关, 并求当

L

为从

A (1, 1)

到

B (0, 2)

时

I

的值.

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15. 求函数

z = f (x, y) = x^{2} y (4 - x - y)

在由直线

x + y = 6 、 x

轴和

y

轴所围成的闭区域

D

上的最大值和最小值.

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16. 计算

\iint_{Σ} y^{2} d y d z + z^{2} d z d x + x^{2} d x d y

, 其中

Σ

为旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2}

被平面

z = 1

所截得部分的外侧.

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17. 已知函数

y = y (x)

满足微分方程

y^{'} = x + y

，且

y (0) = 1

，证明

\sum_{n = 1}^{\infty} [y (\frac{1}{n}) - 1 - \frac{1}{n}]

绝对收敛。

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