填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $ {P}( {A})=0.92, {P}( {B})=0.93, {P}( {B} \mid \bar{A})=0.85$, 则 $ {P}( {A} \mid \bar{B})=, {P}( {A} \cup {B})=$
一间宿舍内住有 6 个同学，求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率: $\qquad$
；没有任何人的生日在同一个月份的概率 $\qquad$ ;
已知随机变量 X 的密度函数为: $\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}A e^x, & x < 0 \\ 1 / 4, & 0 \leq x < 2 \\ 0, & x \geq 2\end{array}\right.$ ，则常数 $\mathrm{A}=$ ，分布函数 $F(x)=$ $\qquad$ ，概率 $P\{-0.5 < X < 1\}=$
设 $X \sim B(200,0.01), Y \sim P(4)$, 且 X 与 Y 相互独立，则 $\mathrm{D}(2 \mathrm{X}-3 \mathrm{Y})=$ $\qquad$ $\operatorname{COV}(2 X-3 Y, X)=$
设 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_5$ 是总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，则当 $k=$ $\qquad$ 时，
$$
Y=\frac{k\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}} \sim t(3)
$$
设总体 $X \sim U(0, \theta) \quad \theta>0$ 为未知参数， $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_n$ 为其样本， $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值，则 $\theta$ 的矩估计量为: $\qquad$ 。
设样本 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_9$ 来自正态总体 $N(a, 1.44)$ ，计算得样本观察值 $\bar{x}=10$ ，求参数 $a$ 的置信度为 $95 \%$ 的置信区间: $\qquad$ ；
设随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
\varphi(x, y)= \begin{cases}1 / 4, & |y| < x, 0 < x < 2, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
1) 求边缘密度函数 $\varphi_X(x), \varphi_Y(y)$ ；
2) 问 $X$ 与 $Y$ 是否独立? 是否相关?
3) 计算 $Z=X+Y$ 的密度函数 $\varphi_Z(z)$ ；
设总体 $X$ 的概率密度函数为:
$$
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end{array}, \quad \theta>0\right.
$$
$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本。
1) 求参数 $\theta$ 的极大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
2) 验证估计量 $\hat{\theta}$ 是否是参数 $\theta$ 的无偏估计量。
设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 $3 / 10$ ， $1 / 5 ， 1 / 10$ 和 $2 / 5$ 。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是 $1 / 4 ， 1 / 3 ， 1 / 2$ 。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?
环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过 $0.5 \%$ ，假定有害物质含量 X 服从正态分布。现在取 5 份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：
$$
0.530 \%, 0.542 \%, 0.510 \%, 0.495 \%, 0.515 \%
$$
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定 $(\alpha=0.05)$ ?
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为:
$$
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{2} x, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求：
1) $P\{|2 X-1| < 2\}$ ；
2) $Y=X^2$ 的密度函数 $\varphi_Y(y)$ ；
3) $E(2 X-1)$;