单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^7$ 的（）
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 ( )
$\text{A.}$ 连续且取极大值
$\text{B.}$ 连续且取极小值
$\text{C.}$ 可导且导数等于 0
$\text{D.}$ 可导且导数不为 0
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $(0, e)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$
设函数 $f(x, y)$ 可微， 且
$$
f\left(x+1, \mathrm{e}^x\right)=x(x+1)^2, f\left(x, x^2\right)=2 x^2 \ln x
$$
则 $\mathrm{d} f(1,1)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\mathrm{d} y$
$\text{D.}$ $-\mathrm{d} y$
二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2
$$
的正惯性指数与负惯性指数依次为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 2,0
$\text{B.}$ 1,1
$\text{C.}$ 2,1
$\text{D.}$ 1,2
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵，若矩阵
$B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 为任意常数，
则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解为 ( $\quad$ ）
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若下三角可逆矩阵 $P$ 和上三角可逆矩阵 $Q$ 使 $P A Q$ 为对角矩阵，则 $P, Q$ 可分别取为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为随机事件，且 $0 < P(B) < 1$ ，则下列命题不成立的是（）
$\text{A.}$ 若 $P(A \mid B)=P(A)$ ，则 $P(A \mid \bar{B})=P(A)$
$\text{B.}$ 若 $P(A \mid B)>P(A)$ ，则 $P(\bar{A} \mid \bar{B})>P(\bar{A})$
$\text{C.}$ 若 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ ，则 $P(A \mid B)>P(A)$
$\text{D.}$ 若 $P(A \mid A \cup B)>P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $P(A)>P(B)$
设 $\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为来自总体 $N\left(\mu_1, \mu_2\right.$; $\left.\sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$ 简单随机样本，令 $\theta=\mu_1-\mu_2, \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, $\overline{\boldsymbol{Y}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, \hat{\boldsymbol{\theta}}=\overline{\boldsymbol{X}}-\overline{\boldsymbol{Y}}$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}$
$\text{B.}$ $E(\hat{\theta})=\theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2 \rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$
$\text{C.}$ $E(\hat{\theta}) \neq \theta, D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}$
$\text{D.}$ $E(\hat{\theta}) \neq \theta, \quad D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2 \rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}$, $P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$ ，利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$ ，可得 $\theta$ 的最大似然估计值为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $y=\cos e^{-\sqrt{x}}$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$
$\int_{\sqrt{5}}^5 \frac{x}{\sqrt{\left|x^2-9\right|}} \mathrm{d} x=$
设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \sin \pi x(0 \leq x \leq 1)$ 与 $x$所围成，则 $\boldsymbol{D}$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积为
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球. 令 $X, Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[a \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值.
求函数 $f(x, y)=2 \ln |x|+\frac{(x-1)^2+y^2}{2 x^2}$的极值.
设有界区域 $D$ 是 $x^2+y^2=1$ 和直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限围成的 部分，计算二重积分
$$
I=\iint_D e^{(x+y)^2}\left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
设 $n$ 为正整数， $y=y_n(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-(n+1) y=0$ 满足条件 $y_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}$ 的解.
(1) 求 $y_n(x)$ ；
(2) 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_n(x)$ 的收敛域及和函数.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值. 若 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
在区间 $(0,2)$ 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段的长度记作 $\boldsymbol{X}$ ，较长的一段记作 $\boldsymbol{Y}$ ，令 $Z=\frac{Y}{X}$.
（1）求 $X$ 的概率密度；（2）求 $Z$ 的概率密度；(3) 求 $E\left(\frac{X}{Y}\right)$.