单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数， $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$
曲面 $x^2+\cos (x y)+y z+x=0$ 在点 $(0,1,-1)$ 处的切平面方程为
$\text{A.}$ $x-y+z=-2$
$\text{B.}$ $x+y+z=0$
$\text{C.}$ $x-2 y+z=-3$
$\text{D.}$ $x-y-z=0$
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x$ ， $(n=1,2, \cdots)$ ，令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设 $L_1: x^2+y^2=1 ， L_2: x^2+y^2=2$ ， $L_3: x^2+2 y^2=2, L_4: 2 x^2+y^2=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线，记
$$
I_i=\oint_{L_i}\left(y+\frac{y^3}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^3}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4) ，
$$
则 $\max \left\{I_1, I_2, I_3, I_4\right\}=$
$\text{A.}$ $I_1$
$\text{B.}$ $I_2$
$\text{C.}$ $I_3$
$\text{D.}$ $I_4$
设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B=C$ ，旦 $B$ 可逆 则
$\text{A.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $A$ 的列向量组等价
$\text{C.}$ 矩阵 $C$ 的行向量组与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{D.}$ 矩阵 $C$ 的列向量组与矩阵 $B$ 的列向量组等价
矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0 ， b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 $X_1, X_2, X_3$ 是随机变量，且
$$
\begin{gathered}
X_1 \sim N(0,1), X_2 \sim N\left(0,2^2\right), X_3 \sim N\left(5,3^2\right), \\
p_i=P\left\{-2 \leq X_i \leq 2\right\}(i=1,2,3),
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>p_3$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>p_3$
$\text{C.}$ $p_3>p_1>p_2$
$\text{D.}$ $p_1>p_3>p_2$
设随机变量 $X \sim t(n) ， Y \sim F(1, n)$ ，给定 $\alpha(0 < \alpha < 0.5)$ ，常数 $c$ 满足 $P\{X>c\}=\alpha$ ，则 $P\left\{Y>c^2\right\}=$
$\text{A.}$ $\alpha$
$\text{B.}$ $1-\alpha$
$\text{C.}$ $2 \alpha$
$\text{D.}$ $1-2 \alpha$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 确定，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=$
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x}, y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 $y=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sin t \\ y=t \sin t+\cos t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=$
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是 3 阶非零矩阵， $|A|$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的行列式， $\boldsymbol{A}_{i j}$ 为 $a_{i j}$ 的代数余子式. 若 $a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2,3)$ ，则 $|A|=$
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布， $a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leq a+1 \mid Y>a\}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件:
$$
a_0=3, a_1=1, a_{n-2}-n(n-1) a_n=0(n \geq 2) \text { ， }
$$
$S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数.
(1) 证明: $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ ；
(2) 求 $S(x)$ 的表达式.
求函数 $f(x, y)=\left(y+\frac{x^3}{3}\right) e^{x+y}$ 的极值.
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ，证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
(2) 存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
设直线 $L$ 过 $A(1,0,0) ， B(0,1,1)$ 两点，将 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到曲面 $\Sigma ， \Sigma$ 与平面 $z=0 ， z=2$ 所围成的立体为 $\Omega$.
(1) 求曲面 $\Sigma$ 的方程;
(2) 求 $\Omega$ 的形心坐标.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2\left(a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3\right)^2$
$$
+\left(b_1 x_1+b_2 x_2+b_3 x_3\right)^2 》
$$
记 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right) ， \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right)$.
(1) 证明二次型 $f$ 对应的矩阵为 $2 \alpha \alpha^T+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^T$ ；
(2) 若 $\alpha, \beta$ 正交且均为单位向量，证明 $f$ 在正交变换下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2$.