解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设正整数 $n$ 无平方因子, $S$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集, 满足 $|S| \geq \frac{n}{2}$. 求证: 存在 $a, b, c \in S$ (可以相同), 使得 $a b \equiv c(\bmod n)$.
求所有的函数 $f: \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}_{+}$, 使得对任意正整数 $a, b$, 均有
$$
\sum_{k=0}^{2 b} f(a+k)=(2 b+1) \cdot f(f(a)+b) .
$$
设 $m, n$ 是大于 2 的整数. 已知平面上的正 $n$ 边形区域 $T$ 包含某个边长为 1 的正 $m$ 边形区域. 求证: 该平面上的任意一个边长为 $\cos \frac{\pi}{[m, n]}$ 的正 $m$ 边形区域 $S$ 可以平移嵌入区域 $T$, 即存在向量 $\vec{\alpha}$, 满足区域 $S$ 中的每个点平移 $\vec{\alpha}$ 后都落在区域 $T$ 中.
注: 多边形区域包含内部和边界.