填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $(A-4 E)^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 则 $A^{\prime} X=\beta$ 的解是
设 $n>2, n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccccc}a & a & \cdots & a & b \\ a & a & \cdots & b & a \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a & b & \cdots & a & a \\ b & a & \cdots & a & a\end{array}\right)$ 的秩是 $n-1$, 其中 $a b \neq 0$,则 $a, b$ 满足条件
设 $A$ 是 6 阶方阵, $\mathrm{r}(A)=4$, 那么 $\mathrm{r}\left(A^*\right)=$
当 $x, y$ 满足 $\qquad$时, 矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & y\end{array}\right)$ 是正定的.
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4 & =1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b, \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1 .
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)
用非退化的线性替换化二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3
$$
为标准形, 并判断其是否正定。
设 $A \in M_{m \times n}, B \in M_{n \times s}$. 设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t$ 是 $B X=0$ 的一个基础解系, 且 $\mathrm{r}(B)-\mathrm{r}(A B)=r$ 。
1. 证明存在 $r$ 个 $s$ 维向量 $\eta_1, \ldots, \eta_r$ 使得
$$
\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t, \eta_1, \ldots, \eta_r
$$
是 $A B X=0$ 的一个基础解系;
2. 证明向量组 $B \eta_1, B \eta_2, \ldots, B \eta_r$ 线性无关;
3. 根据 1 .和 2 .的结论或用其它方法证明:
$$
\mathrm{r}(A B) \geq \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n .
$$
设 $A \in M_n(P), \alpha, \beta \in P^n$, 试证:
1. $\left|E_n-\alpha \beta^{\prime}\right|=1-\alpha^{\prime} \beta$;
2. 因此当 $1-\alpha^{\prime} \beta \neq 0$ 时, $E_n-\alpha \beta^{\prime}$ 是可逆的, 求 $E_n-\alpha \beta^{\prime}$ 的逆。