设 $A \in M_{m \times n}, B \in M_{n \times s}$. 设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t$ 是 $B X=0$ 的一个基础解系, 且 $\mathrm{r}(B)-\mathrm{r}(A B)=r$ 。
1. 证明存在 $r$ 个 $s$ 维向量 $\eta_1, \ldots, \eta_r$ 使得
$$
\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t, \eta_1, \ldots, \eta_r
$$

是 $A B X=0$ 的一个基础解系;
2. 证明向量组 $B \eta_1, B \eta_2, \ldots, B \eta_r$ 线性无关;
3. 根据 1 .和 2 .的结论或用其它方法证明:
$$
\mathrm{r}(A B) \geq \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n .
$$