单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
使不等式 $\int_1^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t>\ln x$ 成立的 $x$ 的范围是
$\text{A.}$ $(0,1)$
$\text{B.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$
$\text{D.}$ $(\pi,+\infty)$
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$, 则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cr}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 若
$$
P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right),
$$
则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
设事件 $\boldsymbol{A}$ 与事件 $\boldsymbol{B}$ 互不相容，则
$\text{A.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0$
$\text{B.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A)=1-P(B)$
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， Y$ 的概率分布为
$$
P\{Y=0\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2} .
$$
记 $F_z(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数，则函数 $F_z(z)$ 的间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=$
设 $z=\left(x+e^y\right)^x$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n-(-1)^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为
设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$ ，其对应价格 $P$ 的弹性 $E_P=0.2$ ，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元
设 $\alpha=(1,1,1)^T ， \beta=(1,0, k)^T$ ，若矩阵 $a \beta^T$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $k=$
设 $X_1, X_2, \ldots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，记统计量 $T=\bar{X}-S^2$ ，则 $E(T)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
求二重积分 $\iint_D(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leq 2, y \geq x\right\}
$$
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
(2) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$.已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线的方程.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$;
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
e^{-x}, 0 < y < x \\
0, \text {, 其他 }
\end{array}\right.
$$
(1) 求条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$;
(2) 求条件概率 $P\{X \leq 1 \mid Y \leq 1\}$.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球：现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y} ， \boldsymbol{Z}$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.