单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$, 其中 $a, b$ 常数，则
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d}\left[\int f(x) \mathrm{d} x\right]$ 等于
$\text{A.}$ $f(x)$
$\text{B.}$ $f(x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $f(x)+C$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
已知函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当
$n$ 为大于 2 的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ 是
$\text{A.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{C.}$ $[f(x)]^{2 n}$
$\text{D.}$ $ n![f(x)]^{2 n}$
设 $f(x)$ 是连续函数，且 $F(x)=\int_x^{e^{-x}} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F^{\prime}(x)=$.
$\text{A.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{B.}$ $-e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
$\text{C.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)-f(x)$
$\text{D.}$ $e^{-x} f\left(e^{-x}\right)+f(x)$
设 $F(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0 \\ f(0), x=0\end{array}\right.$ ，其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导， $f^{\prime}(0) \neq 0, f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 第一类间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点或间断点不能由此确定
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\right.$ 对应于 $t=\frac{\pi}{6}$ 点处法线方程是
设 $y=e^{\tan \frac{1}{x}} \cdot \sin \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
$\int_0^1 x \sqrt{1-x} \mathrm{~d} x=$
下列两个积分差是（填写正数负数或者零）:
$$
\int_{-2}^{-1} e^{-x^3} \mathrm{~d} x-\int_{-2}^{-1} e^{x^3} \mathrm{~d} x .
$$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x=9$ ，求常数 $a$.
求由方程 $2 y-x=(x-y) \ln (x-y)$ 所确定的函数 $y=y(x)$ 的微分 $\mathrm{d} y$.
求曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x>0)$ 的拐点.
计算 $\int \frac{\ln x}{(1-x)^2} \mathrm{~d} x$.
求微分方程 $x \ln x \mathrm{~d} y+(y-\ln x) \mathrm{d} x=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=1$ 的特解.
在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的第一象限部分上求一点 $P$ ，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小(其中 $a>0, b>0)$.
证明: 当 $x>0$ 时，有不等式 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}$.
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形, 求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{a x}$ 的通解，其中 $a$ 为实数.