单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\eta_1$ 与 $\eta_2$ 为非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 为对应产论线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $t_1, t_2$ 为任意常数, 则 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_1+\xi_2\right)$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\xi_2-\xi_1\right)$;
$\text{C.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1+\eta_2\right)$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+t_1 \xi_1+t_2\left(\eta_1-\eta_2\right)$.
设 $a_1=\left[\begin{array}{lll}1, & 0, & 1\end{array}\right]^T, a_2=\left[\begin{array}{lll}0, & 1, & 1\end{array}\right]^T$ 为 $A x=0$ 的两个解向量, 其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b\end{array}\right]$,
则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$;
$\text{B.}$ $a=1, \quad b=-1$;
$\text{C.}$ $a=1, \quad b=1$;
$\text{D.}$ $a=-1, \quad b=1$.
齐次方程组 $A x=0$ 仅有零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的
$\text{A.}$ 行向量组线性无关;
$\text{B.}$ 列向量组线性无关;
$\text{C.}$ 行向量组线性相关;
$\text{D.}$ 列向量组线性相关.
齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件是
$\text{A.}$ $A$ 的任意两个列向量线性相关;
$\text{B.}$ $A$ 的任意两个列向量线性无关;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意一列向量都是其余列向量的线性组合.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
$n$ 元齐次线性方程组 $A$, $X=0$ 仅有零解的充分必要条件是
设四元方程组 $A X=B$ 的 3 个解是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 。其中 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2+\alpha_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 如 $R(A)=3$,则方程组 $A X=B$ 的通解是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=3 \\ x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda\end{array}\right.$,
问 $\lambda$ 取何值时, 此方程组 (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.
求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+5 x_2-x_3-x_4=0 \\ x_1-2 x_2+x_3+3 x_4=0 \\ 3 x_1+8 x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-9 x_2+3 x_3+7 x_4=0\end{array}\right.$ 的基础解系, 并写出其通解.
解线性方程组
1. $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-3 x_3-x_4+x_5=0 \\ 3 x_1-x_2+x_3+4 x_4+3 x_5=0 \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4+x_5=0\end{array}\right.$
2. $\left\{\begin{array}{l}x_1-2 x_2+2 x_3-x_4=1 \\ 2 x_1-4 x_2+8 x_3=2 \\ -2 x_1+4 x_2-2 x_3+3 x_4=3 \\ 3 x_1-6 x_2-6 x_4=4\end{array}\right.$
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-3 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-2 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-2\end{array}\right.$, 讨论 $\lambda$ 取何值时, (1) 有唯一解; （2）无解; (3)有无窈多解? 并在有无穷多解时, 求出它的所有解.
求一通解为 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right)=c_1\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 9 \\ 9 \\ 8\end{array}\right),\left(c_1, c_2 \in R\right)$ 的非齐次线性方程组.