线性代数同步练习（五）线性方程组

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线性代数同步练习（五）线性方程组

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

η_{1}

与

η_{2}

为非齐次线性方程组

A x = b

的两个不同的解,

ξ_{1}

与

ξ_{2}

为对应产论线性方程组

A x = 0

的基础解系,

t_{1}, t_{2}

为任意常数, 则

A x = b

的通解为

A.

\frac{η_{1} - η_{2}}{2} + t_{1} ξ_{1} + t_{2} (ξ_{1} + ξ_{2})

B.

\frac{η_{1} + η_{2}}{2} + t_{1} ξ_{1} + t_{2} (ξ_{2} - ξ_{1})

;

C.

\frac{η_{1} - η_{2}}{2} + t_{1} ξ_{1} + t_{2} (η_{1} + η_{2})

D.

\frac{η_{1} + η_{2}}{2} + t_{1} ξ_{1} + t_{2} (η_{1} - η_{2})

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2. 设

a_{1} = {[\begin{array}{lll} 1, & 0, & 1 \end{array}]}^{T}, a_{2} = {[\begin{array}{lll} 0, & 1, & 1 \end{array}]}^{T}

为

A x = 0

的两个解向量, 其中

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \end{array}]

,

则

A.

a = - 1, b = - 1

;

B.

a = 1, b = - 1

;

C.

a = 1, b = 1

;

D.

a = - 1, b = 1

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3. 齐次方程组

A x = 0

仅有零解的充要条件是系数矩阵

A

的

A.

行向量组线性无关;

B.

列向量组线性无关;

C.

行向量组线性相关;

D.

列向量组线性相关.

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4. 齐次方程组

A x = 0

有非零解的充要条件是

A.

A

的任意两个列向量线性相关;

B.

A

的任意两个列向量线性无关;

C.

必有一列向量是其余列向量的线性组合;

D.

任意一列向量都是其余列向量的线性组合.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 已知方程组

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a + 2 \\ 1 & a & - 2 \end{array}) (\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array})

无解, 则

a =

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n

元齐次线性方程组

A

X = 0

仅有零解的充分必要条件是

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7. 设四元方程组

A X = B

的 3 个解是

α_{1}, α_{2}, α_{3}

。其中

α_{1} = (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), α_{2} + α_{3} = (\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array})

, 如

R (A) = 3

,则方程组

A X = B

的通解是

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 设有线性方程组

{\begin{cases} (1 + λ) x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + (1 + λ) x_{2} + x_{3} = 3 \\ x_{1} + x_{2} + (1 + λ) x_{3} = λ \end{cases}

,
问

λ

取何值时, 此方程组 (1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多解.

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9. 求方程组

{\begin{cases} x_{1} + 5 x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0 \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 0 \\ 3 x_{1} + 8 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\ x_{1} - 9 x_{2} + 3 x_{3} + 7 x_{4} = 0 \end{cases}

的基础解系, 并写出其通解.

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10. 解线性方程组
1.

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} - x_{4} + x_{5} = 0 \\ 3 x_{1} - x_{2} + x_{3} + 4 x_{4} + 3 x_{5} = 0 \\ x_{1} + 5 x_{2} - 9 x_{3} - 8 x_{4} + x_{5} = 0 \end{cases}

{\begin{cases} x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{3} - x_{4} = 1 \\ 2 x_{1} - 4 x_{2} + 8 x_{3} = 2 \\ - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 2 x_{3} + 3 x_{4} = 3 \\ 3 x_{1} - 6 x_{2} - 6 x_{4} = 4 \end{cases}

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11. 设线性方程组

{\begin{cases} λ x_{1} + x_{2} + x_{3} = λ - 3 \\ x_{1} + λ x_{2} + x_{3} = - 2 \\ x_{1} + x_{2} + λ x_{3} = - 2 \end{cases}

, 讨论

λ

取何值时, (1) 有唯一解; （2）无解; (3)有无窈多解? 并在有无穷多解时, 求出它的所有解.

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12. 求一通解为

(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}) = c_{1} (\begin{array}{l} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + c_{2} (\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{l} 1 \\ 9 \\ 9 \\ 8 \end{array}), (c_{1}, c_{2} \in R)

的非齐次线性方程组.

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