解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知复数 $z$ 使得 $z-\frac{4}{z}$ 为纯虚数, 则 $|z-1-i|$ 的最小值为 $\qquad$ . （其中 $\mathbf{i}$ 为虚数单位)
设函数 $f(x)=2^x-2^{-x}$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$, 则不等式 $\left|f^{-1}(x-1)\right| < 1$ 的解集为
若点 $A\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 关于直线 $y=k x$ 对称的点在圆 $(x-2)^2+y^2=1$ 上, 则 $k=$
在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$, 则 $\triangle A B C$ 最大角的正弦值为
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}=\frac{a_{n+2}-a_{n+1}}{a_{n+2}}\left(n \in N^*\right)$, 若 $a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_6 a_7=3$, 则 $a_{2024}=$
由 $1,2, \cdots, 9$ 这九个正整数构成的所有圆排列中, 任意相邻两数之积均不超过 60 的圆排列的个数为
已知四面体 $A B C D$ 满足 $A B \perp B C, B C \perp C D, A B=B C=C D=1$, 且异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$, 则四面体 $A B C D$ 的外接球的体积为
一珍稀物种出现在地球, 对然个珍稀生物, 每天有如下事件发生: 有 $p(0 \leq p \leq 1)$ 的概率消失, 有 $\frac{1-p}{3}$的概率保持不变, 有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成两个, 有 $\frac{1-p}{3}$ 的概率分裂成三个. 对所在新产生的生物每天也会发生上述事件. 假设开始只有一个这样的珍稀生物, 若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 $\frac{1}{2}$, 则 $p$ 至多为
已知函数 $f(x)=\ln x-\sin x$, 若两不相等的实数 $x_1, x_2 \in(0, \pi)$ 满足曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$和点 $\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ 处的切线斜率相等, 求证: $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)>-2$.
已知抛物线 $\Omega: y=x^2$, 动线段 $A B$ 在直线 $y=\sqrt{3} x-3$ 上 ( $B$ 在 $A$ 右侧), 目 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 过 $A$ 作 $\Omega$的切线, 取左边的切点为 $M$. 过 $B$ 作 $\Omega$ 的切线, 取右边的切点为 $N$. 当 $M N / / A B$ 时, 求点 $A$ 的横坐标.
设 $x_1=3, x_{n+1}=\sqrt{x_n+14}-\sqrt{x_n+2}\left(n \in N^*\right)$, 求 $\left[x_1+x_2+\cdots+x_n\right]$ 的值.（其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数.)