单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2 \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x^2}{x^2} \mathrm{~d} x$, 则有
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_1>I_3>I_2$
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 关于 $f(x), g(x)$ 的定积分有以下命题
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$ 且不恒等于 0 , 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>0$
(2) 若 $f(x) \geqslant 0$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$
(3) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $x_0 \in[a, b]$ 使 $f\left(x_0\right) < g\left(x_0\right)$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x < \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
(4) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x) \equiv g(x)$以上命题中正确的个数为 ( ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $a, b$ 均为常数, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}\left[\int_0^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t+a\right]=b$, 则
$\text{A.}$ $a$ 为任意常数, $b=0$
$\text{B.}$ $a$ 为任意常数, $b=-1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=0$
$\text{D.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=-1$
$y=f(x)=\frac{\mathrm{e}^x+x \arctan x}{\mathrm{e}^x+x-1}$ 的渐近线条数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$.
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\tan \theta \sec \theta} \mathrm{e}^{r \cos \theta} r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\sin \theta}} \mathrm{e}^{r \cos \theta} r \mathrm{~d} r=$.
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ ${e}^{-1}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 ( II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n \geqslant 1$ 为自然数, $f(x)=\left(x^3-1\right)^n(\arctan x)^2$, 则 $f^{(n)}(1)=$
设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\sin ^6 x$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值是
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $z \int_0^{x^2+y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+z^2=1$ 确定, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2} t} \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{t^2-x^2}} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} y}{t^4}=$
方程 $x y^{\prime \prime}-y^{\prime}-x^2 \mathrm{e}^x=0$ 的通解为
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y(x)$ 可导, 且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=2$. 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明 $y^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} y(x)=0$ ；
(II) 求 $y(x)$.
证明极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n} \mathrm{~d} x=\ln 2$.
设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.
设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 证明
(I) 函数 $f(x)=\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sin x}$ 单调递增;
(II) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)>\sin x$.
函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \mathrm{e}^{\mathrm{e}^2-y^2}, & x < 0, \\ |x-y|, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$,计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.