河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测(二)数学试卷

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河北省石家庄市2024届高三下学期教学质量检测(二)数学试卷

一、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查,得到如下列联表:

(1)根据表中数据,依据小概率值

a = 0.05

的独立性检验,分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中,按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人,记 X为抽到乒乓球组的学生人数,求X 的分布列及数学期望.

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2. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 设向量

m = (2 \sin A, \sqrt{3} \sin A + \sqrt{3} \cos A)

n = (\cos A, \cos A - \sin A), f (A) = m \cdot n, A \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]

.
(1) 求函数

f (A)

的最大值;
(2)若

f (A) = 0, a = \sqrt{3}, \sin B + \sin C = \frac{\sqrt{6}}{2}

, 求

△ A B C

的面积.

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3. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 7, a_{n + 1} = {\begin{cases} a_{n} - 3, & n 为奇数, \\ 2 a_{n}, & n 为偶数. \end{cases}

(1) 写出

a_{2}, a_{3}, a_{4}

;
(2) 证明: 数列

{a_{2 n - 1} - 6}

为等比数列;
(3) 若

b_{n} = a_{2 n}

, 求数列

{n \cdot (b_{n} - 3)}

的前

n

项和

S_{n}

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4. 已知椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 离心率为

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 过点

F_{1}

的动直线

l

交

E

于

A, B

两点, 点

A

在

x

轴上方, 且

l

不与

x

轴垂直,

△ A B F_{2}

的周长为

4 \sqrt{2}

, 直线

A F_{2}

与

E

交于另一点

C

, 直线

B F_{2}

与

E

交于另一点

D

, 点

P

为椭圆

E

的下顶点, 如图(1).
(1) 当点

A

为椭圆

E

的上顶点时, 将平面

x O y

沿

x

轴折叠如图 (2), 使平面

A^{'} F_{1} F_{2} ⊥

平面

B F_{1} F_{2}

, 求异面直线

A^{'} C

与

B F_{1}

所成角的余弦值;
(2) 若过

F_{2}

作

F_{2} H ⊥ C D

, 垂足为

H

.
(i) 证明: 直线

C D

过定点;
(ii) 求

| P H |

的最大值.

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5. 设集合

M

是一个非空数集, 对任意

x, y \in M

, 定义

ρ (x, y) = | x - y |

, 称

ρ

为集合

M

的一个度量, 称集合

M

为一个对于度量

ρ

而言的度量空间, 该度量空间记为

(M, ρ)

.

定义 1: 若

f : M \to M

是度量空间

(M, ρ)

上的一个函数, 且存在

α \in (0, 1)

, 使得对任意

x, y \in M

, 均有:

ρ (f (x), f (y)) ⩽ α ρ (x, y)

, 则称

f

是度量空间

(M, ρ)

上的一个 “压缩函数”.

定义 2: 记无穷数列

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots

为

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

, 若

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

是度量空间

(M, ρ)

上的数列, 且对任意正实数

ε > 0

, 都存在一个正整数

N

, 使得对任意正整数

m, n ⩾ N

, 均有

ρ (a_{m}, a_{n}) < ε

, 则称

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

是度量空间

(M, ρ)

上的一个 “基本数列”.
(1) 设

f (x) = \sin x + \frac{1}{2}

, 证明:

f

是度量空间

([\frac{1}{2}, 2], ρ)

上的一个 “压缩函数”;
(2) 已知

f : R \to R

是度量空间

(R, ρ)

上的一个压缩函数, 且

a_{0} \in R

, 定义

a_{n + 1} = f (a_{n})

n = 0, 1, 2, \dots

, 证明:

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

为度量空间

(R, ρ)

上的一个 “基本数列”.

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