数学试题讲解

查看原题

设集合

M

是一个非空数集, 对任意

x, y \in M

, 定义

ρ (x, y) = | x - y |

, 称

ρ

为集合

M

的一个度量, 称集合

M

为一个对于度量

ρ

而言的度量空间, 该度量空间记为

(M, ρ)

.

定义 1: 若

f : M \to M

是度量空间

(M, ρ)

上的一个函数, 且存在

α \in (0, 1)

, 使得对任意

x, y \in M

, 均有:

ρ (f (x), f (y)) ⩽ α ρ (x, y)

, 则称

f

是度量空间

(M, ρ)

上的一个 “压缩函数”.

定义 2: 记无穷数列

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots

为

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

, 若

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

是度量空间

(M, ρ)

上的数列, 且对任意正实数

ε > 0

, 都存在一个正整数

N

, 使得对任意正整数

m, n ⩾ N

, 均有

ρ (a_{m}, a_{n}) < ε

, 则称

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

是度量空间

(M, ρ)

上的一个 “基本数列”.
(1) 设

f (x) = \sin x + \frac{1}{2}

, 证明:

f

是度量空间

([\frac{1}{2}, 2], ρ)

上的一个 “压缩函数”;
(2) 已知

f : R \to R

是度量空间

(R, ρ)

上的一个压缩函数, 且

a_{0} \in R

, 定义

a_{n + 1} = f (a_{n})

,

n = 0, 1, 2, \dots

, 证明:

{a_{n}}_{n = 0}^{+ \infty}

为度量空间

(R, ρ)

上的一个 “基本数列”.