设集合 $M$ 是一个非空数集, 对任意 $x, y \in M$, 定义 $\rho(x, y)=|x-y|$, 称 $\rho$ 为集合 $M$ 的一个度量, 称集合 $M$ 为一个对于度量 $\rho$ 而言的度量空间, 该度量空间记为 $(M, \rho)$.
定义 1: 若 $f: M \rightarrow M$ 是度量空间 $(M, \rho)$ 上的一个函数, 且存在 $\alpha \in(0,1)$, 使得对任意 $x, y \in M$, 均有: $\rho(f(x), f(y)) \leqslant \alpha \rho(x, y)$, 则称 $f$ 是度量空间 $(M, \rho)$ 上的一个 “压缩函数”.
定义 2: 记无穷数列 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 为 $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{+\infty}$, 若 $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{+\infty}$ 是度量空间 $(M, \rho)$ 上的数列, 且对任意正实数 $\varepsilon>0$, 都存在一个正整数 $\mathbf{N}$, 使得对任意正整数 $m, n \geqslant \mathbf{N}$, 均有 $\rho\left(a_m, a_n\right) < \varepsilon$, 则称 $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{+\infty}$ 是度量空间 $(M, \rho)$ 上的一个 “基本数列”.
(1) 设 $f(x)=\sin x+\frac{1}{2}$, 证明: $f$ 是度量空间 $\left(\left[\frac{1}{2}, 2\right], \rho\right)$ 上的一个 “压缩函数”;
(2) 已知 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 是度量空间 $(\mathbf{R}, \rho)$ 上的一个压缩函数, 且 $a_0 \in \mathbf{R}$, 定义 $a_{n+1}=f\left(a_n\right)$, $n=0,1,2, \cdots$, 证明: $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{+\infty}$ 为度量空间 $(\mathbf{R}, \rho)$ 上的一个 “基本数列”.