已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=7, a_{n+1}= \begin{cases}a_n-3, & n \text { 为奇数, } \\ 2 a_n, & n \text { 为偶数. }\end{cases}$
(1) 写出 $a_2, a_3, a_4$;
(2) 证明: 数列 $\left\{a_{2 n-1}-6\right\}$ 为等比数列;
(3) 若 $b_n=a_{2 n}$, 求数列 $\left\{n \cdot\left(b_n-3\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.