《概率论与数理统计》随机变量与分布同步训练第二套

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《概率论与数理统计》随机变量与分布同步训练第二套

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

分别是两个随机变量的分布函数, 为使

F (x) = a F_{1} (x) - b F_{2} (x)

是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取

A.

a = \frac{2}{3}, b = \frac{1}{3}

B.

a = \frac{1}{2}, b = - \frac{3}{2}

C.

a = \frac{3}{5}, b = - \frac{2}{5}

D.

a = - \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}

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2. 设随机变量

X

的概率密度为

p (x) = {\begin{array}{cc} A \cos x & 0 < x < \frac{π}{2} \\ 0 & 其它 \end{array}

则

A =

A.

\frac{π}{2}

B.

C.

π

D.

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3. 下列函数为随机变量分布密度的是

A.

p (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 < x < \frac{π}{2} \\ 0, & 其它 \end{cases}

B.

p (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 < x < \frac{3 π}{2} \\ 0, & 其它 \end{cases}

C.

p (x) = {\begin{array}{lc} \sin x, & 0 < x < π \\ 0, & 其它 \end{array}

D.

p (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 < x < 2 π \\ 0, & 其它 \end{cases}

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4. 下列函数为随机变量分布密度的是

A.

p (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2} + x}{2}}

B.

p (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{- (2 x + 1)^{2}}

C.

p (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2}}

D.

p (x) = \frac{1}{2 \sqrt{π}} e^{- \frac{x^{2} - 1}{4}}

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5. 设随机变量

X

的摡率密度为

p (x), Y = - X

, 则

Y

的概率密度为

A.

- p (y)

B.

1 - p (- y)

C.

p (- y)

D.

p (y)

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6. 设

X

服从二项分布

B (n, p)

, 则

A.

E (2 X - 1) = 2 n p

B.

D (2 X - 1) = 4 n p (1 - p) + 1

C.

E (2 X + 1) = 4 n p + 1

D.

D (2 X - 1) = 4 n p (1 - p)

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7. 设

X

服从

N (0, 4)

, 则

E [X (X - 2)] =

A.

B.

C.

D.

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8. 设随机变量

X

的分布密度为

φ (x) = \frac{1}{2 \sqrt{π}} e^{- \frac{x^{2}}{4}} (- \infty < x < + \infty)

，则

D X =

A.

B.

C.

1 / 2

D.

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9. 对随机变量

X

来说, 如果

E X \neq D X

, 则可断定

X

不服从

A.

二项分布

B.

指数分布

C.

正态分布

D.

泊松分布

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10. 设

X

为服从正态分布

N (- 1, 2)

的随机变量, 则

E (2 X - 1) =

A.

B.

C.

D.

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二、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 若随机变量

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{k}{C}, (k = 1, 2, 3)

, 则

C =

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12. 设随机变量

X

服从

B (2, p)

, 且

P {X \geq 1} = \frac{5}{9}

, 则

p =

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13. 设随机变量

X

服从

N (- 1, 4)

, 则

P {X + 1 < 0} =

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14. 设随机变量

X

服从

e (2)

, 则

E X^{2} =

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15. 若随机变量

X

的概率分布为

则

D (\sin X) =

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16. 盒内有 12 个乒乓球, 其中 9 个是新球, 3 个是旧球。采取不放回抽取, 每次取一个, 直到取到新球为止。求抽取次数

X

的概率分布。

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17. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作, 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。
求 (1) 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2）若车间中仅有 2 台小吊车, 则因小吊车不够而聶误工作的概率是多少?

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18. 某种电子元件的寿命

X

是随机变量, 其概率密度为

p (x) = {\begin{array}{cl} \frac{C}{x^{2}} & x \geq 100 \\ 0 & x < 100 \end{array}

求 (1) 常数

C

;
(2) 若将 3 个这种元件串联在一条线路上, 试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。

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19. 某种电池的寿命（单位: 小时）是一个随机变量

X

, 且

X \sim N (300, 35^{2})

。
求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率;
（2）求

a

使电池寿命在

(300 - a, 300 + a)

内的概率不小于 0.9 。

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20. 设随机变量

X \sim U [\begin{array}{ll} 1, & 2 \end{array}]

。
求

Y = e^{2 X}

概率密度

p_{Y} (y)

。

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21. 若随机变量

X

服从泊松分布, 即

X \sim P (λ)

, 且知

E X^{2} = 2

。求

P {X \geq 4}

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22. 设随机变量

X

的概率密度为

p (x) = \frac{1}{2} e^{- | x |} (- \infty < x < + \infty)

求

E X

和

D X

。

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23. 一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以

X

表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1)

X

的概率分布;
(2)

E (\frac{1}{1 + X})

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24. 设随机变量

X

服从参数为 2 的指数分布。
证明:

\bar{Y} = 1 - e^{- 2 X}

在区间

(0, 1)

上, 服从均匀分布。

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