单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别是两个随机变量的分布函数, 为使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{2}{3}, \quad b=\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=\frac{3}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A \cos x & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
则 $ A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ 0
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{3 \pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $p(x)=\left\{\begin{array}{lc}\sin x, & 0 < x < \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < 2 \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2+x}{2}}$
$\text{B.}$ $p(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-(2 x+1)^2}$
$\text{C.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}}$
$\text{D.}$ $p(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2-1}{4}}$
设随机变量 $X$ 的摡率密度为 $p(x), Y=-X$, 则 $Y$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $-p(y)$
$\text{B.}$ $1-p(-y)$
$\text{C.}$ $p(-y)$
$\text{D.}$ $p(y)$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 则
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
设 $X$ 服从 $N(0,4)$, 则 $E[X(X-2)]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
设随机变量$X$ 的分布密度为 $\varphi(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{4}}(-\infty < x < +\infty)$ ，则$DX=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $1 / 2$
$\text{D.}$ 4
对随机变量 $X$ 来说, 如果 $E X \neq D X$, 则可断定 $X$ 不服从
$\text{A.}$ 二项分布
$\text{B.}$ 指数分布
$\text{C.}$ 正态分布
$\text{D.}$ 泊松分布
设 $X$ 为服从正态分布 $N(-1,2)$ 的随机变量, 则 $E(2 X-1)=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{k}{C},(k=1,2,3)$, 则 $C=$
设随机变量 $X$ 服从 $B(2, p)$, 且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $p=$
设随机变量 $X$ 服从 $N(-1,4)$, 则 $P\{X+1 < 0\}=$
设随机变量 $X$ 服从 $e(2)$, 则 $E X^2=$
若随机变量 $X$ 的概率分布为
则 $D(\sin X)=$
盒内有 12 个乒乓球, 其中 9 个是新球, 3 个是旧球。采取不放回抽取, 每次取一个, 直到取到新球为止。求抽取次数 $X$ 的概率分布。
车间中有 6 名工人在各自独立的工作, 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。
求 (1) 在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少?
（2）若车间中仅有 2 台小吊车, 则因小吊车不够而聶误工作的概率是多少?
某种电子元件的寿命 $X$ 是随机变量, 其概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{C}{x^2} & x \geq 100 \\
0 & x < 100
\end{array}\right.
$$
求 (1) 常数 $C$;
(2) 若将 3 个这种元件串联在一条线路上, 试计算该线路使用 150 小时后仍能正常工作的概率。
某种电池的寿命（单位: 小时）是一个随机变量 $X$, 且 $X \sim N\left(300,35^2\right)$ 。
求（1）这样的电池寿命在 250 小时以上的概率;
（2） 求$a$ 使电池寿命在 $(300-a, 300+a)$ 内的概率不小于 0.9 。
设随机变量 $X \sim U\left[\begin{array}{ll}1, & 2\end{array}\right]$ 。
求 $Y=e^{2 X}$ 概率密度 $p_Y(y)$ 。
若随机变量 $X$ 服从泊松分布, 即 $X \sim P(\lambda)$, 且知 $E X^2=2$ 。求 $P\{X \geq 4\}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\frac{1}{2} e^{-|x|}(-\infty < x < +\infty)
$$
求 $E X$ 和 $D X$ 。
一汽车沿一街道行使, 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立, 求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以 $X$ 表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。
求 (1) $X$ 的概率分布;
(2)
$$
E\left(\frac{1}{1+X}\right)
$$
设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布。
证明: $\bar{Y}=1-e^{-2 X}$ 在区间 $(0,1)$ 上, 服从均匀分布。