单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知线段 $A B=6 \mathrm{~cm}$, 在直线 $A B$ 上画线段 $A C=2 \mathrm{~cm}$, 则 $B C$ 的长是
$\text{A.}$ $8 \mathrm{~cm}$
$\text{B.}$ $8 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$
$\text{C.}$ $4 \mathrm{~cm}$
$\text{D.}$ 不能确定
若 $\frac{a^2}{a^2-2}=\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$, 则 $\left(\frac{1}{1-a}-\frac{1}{1+a}\right) \div\left(\frac{a}{a^2-1}+a\right)$ 的值是
$\text{A.}$ $\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
如图, 平行四边形 $A B C D$ 中, $P$ 是四边形内任意一点, $\triangle A B P, \triangle B C P, \triangle C D P, \triangle A D P$的面积分别为 $S_1, S_2, S_3, S_4$, 则一定成立的是
$\text{A.}$ $S_1+S_2=S_3+S_4$
$\text{B.}$ $S_1+S_2>S_3+S_4$
$\text{C.}$ $S_1+S_3=S_2+S_4$
$\text{D.}$ $S_1+S_2 < S_3+S_4$
已知非零实数 $a, b$, 使得函数 $y_1=x^2+2 a x+4 b$ 与 $y_2=x^2+4 a x+2 b$ 有相同的最小值 $m$, 函数 $y_3=-x^2+2 b x+4 a$ 与 $y_4=-$ $x^2+4 b x+2 a$ 有相同的最大值 $n$, 则 $m+n$ 的值为
$\text{A.}$ 正数
$\text{B.}$ 负数
$\text{C.}$ 零
$\text{D.}$ 不确定
如图, $\triangle A B P$ 为圆锥经过底面直径 $A B$ 的最大截面, $A B=6, P B=9$, 点 $C$ 为母线 $P B$ 的中点. 一只蜘蛛要从点 $A$ 沿圆雉侧面爬到点 $C$, 则该蜘蛛要爬的最短路径长为
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ $\frac{9}{2} \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $63 \sqrt{3}$
如图, 沿 $A E$ 折矩形 $A B C D$, 使点 $D$ 落在边 $B C$ 上的点 $F$ 处, 若 $A B=6, B C=10$, 则 $\triangle E C F$ 的面积是
$\text{A.}$ $\frac{10}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{D.}$ 2
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知两质数 $p, q$ 之和为 2019 , 则 $(p-1)^{q-1}(p>q)$ 的值为
若 $x$ 为实数, 则 $2|x+2019|+3|x-3|+4|x+23|$ 的最小值为
已知正实数 $x$ 满足 $x^3+\frac{1}{x^3}+x^6+\frac{1}{x^6}=2754$, 则 $x+\frac{1}{x}=$
如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $M, N$ 为对角线 $B D$ 上两点, 且 $\angle M A N=45^{\circ}$, 若 $B M=3, D N=4$, 则该正方形的面积为
已知实数 $a, b$ 满足 $a^2+a b+b^2=3$, 若 $a^2-a b+b^2$ 的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$, 则 $M+m$ 的值为
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $a b c=1$, 解方程 $\frac{2 a x}{a b+a+1}+\frac{2 b x}{b c+b+1}+\frac{2 c x}{c a+c+1}=1$
在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $D E \perp A B$ 于点 $E$.在线段 $A D$ 上任取一点 $P$, 以 $P B$ 为一边, 在 $P B$ 的下方作 $\angle B P Q=60^{\circ}, P Q$ 交 $D E$ 延长线于点 $Q$. 请判断线段 $D A, D P, D Q$ 之间的数量关系, 并证明你的结论.
已知自然数 $A$, 如果在它的前面任意放一个自然数, 使得新构成的数能被 $A$ 整除, 则称自然数 $A$ 为 “鹏程数”. 例如： $2 、 5 、 10$ 都是 “鹏程数”. 试求出所有不超过 2019 的“鹏程数”.
给定 2019 个正方形, 先用直线对它作适当的剖分, 再用剖分的碎片拼成一个大的正方形, 请说出你的方法.