单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{3}{8}$.
$\text{D.}$ 1
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2-1}}, & |x| < 1, \\ x^4-b x^2+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 是可微函数, 则 $b+c=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \dfrac{n t^{n-1}}{1+\mathrm{e}^{x t}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^2$.
$\text{B.}$ $1+e$
$\text{C.}$ $\ln (1+e)$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
设连续函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 且 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=12$, 若
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^4} \int_{\sin x}^x g(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ g(0), & x=0,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不连续, $x=0$ 是其第二类间断点.
$\text{B.}$ 不连续, $x=0$ 是其可去间断点.
$\text{C.}$ 连续,但不可导.
$\text{D.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=g^{\prime}(0)$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有连续的二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)}{x-\sin x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) \neq 0, x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)=0$, 点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $D$ 是以 $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1)$ 为三顶点的三角形, 则 $I=$ $\iint_D\left[\sin (x y) \sqrt{x^2+3 y^2+1}+3 x+3 y\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 0
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_4=(-3,0,1)^{\mathrm{T}}$, 且 $\boldsymbol{A}_i=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}, i=1,2,3,4$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2,3,4$ 中不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_3$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}_4$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则对 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}^2$ 的以下判断: (1)为对称矩阵; (2) 为反对称矩阵; (3) 为正定矩阵; (4)为可逆矩阵, 正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $h(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x \leqslant 0, \\ 1, x>0,\end{array}\right.$ 则偶函数 $\varphi(x)=h(\cos \pi x-|x|)$ 有两个间断点 $x= \pm x_0\left(x_0>0\right)$, 且
$\text{A.}$ 在 $\pm x_0$ 点左连续.
$\text{B.}$ 在 $\pm x_0$ 点右连续.
$\text{C.}$ 在 $-x_0$ 点左连续, 在 $x_0$ 点右连续.
$\text{D.}$ 在 $-x_0$ 点右连续, 在 $x_0$ 点左连续.
设阶数为 $n(n \geqslant 3)$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$, 其 对角元 $a_{k k}(1 \leqslant k \leqslant n)$ 均满足 $\left|a_{k k}\right|>\sum_{i=1, i \neq k}^n\left|a_{k i}\right|$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 可能有解, 也可能无解, 依赖于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$ 的具体取值.
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 必有唯一解.
$\text{C.}$ 方程组 $A x=b$ 必有无穷多解.
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 是否有无穷多解依赖于 $\boldsymbol{b}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{\sin x}{x}$, 且 $f(\pi)=a$, 则 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=$
设 $f(x)$ 满足 $\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=x \cos \pi x$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$
若 $z(x, y)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{x^2+x y+y^2}} \mathrm{~d} u$, 则 $\frac{x}{z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z} \frac{\partial z}{\partial y}=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+4 x_2^2+2 x_3^2+4 t x_1 x_2+2 t x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 是正定的, 则 $t$ 的取值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} \mathrm{~d} x$.
设有三角形闸板, 两直角边的和为 $l$. 将其竖直放人水中, 使一直角边与水面重合, 另一直角边垂直向下.问当两直角边成何比例时, 三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 $1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$,求出其最大压力.
设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内连续可导, 且满足 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=0$, 证明：
( I ) 存在 $\xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=2 f(\xi) \tan \xi$;
(II) 存在 $\eta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=f(\eta) \tan \eta$.
设 $k>0, y=k x^2$ 与 $y=\sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 在 $x=t$ 处相交, 记 $S_1$ 为 $y=k x^2$ 与 $y=\sin x$ 围成的面积; $S_2$ 为 $y=\sin x, y=\sin t$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$ 围成的面积. 试证: $S(t)=S_1+S_2$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内必有最小值.
已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个特征值之和为 $1,|\boldsymbol{A}|=-12$; 且方程 $\left(\boldsymbol{A}^*-4 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有一个解向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,0,-2)^{\mathrm{T}}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求方程 $\left(\boldsymbol{A}^*+6 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解.