填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{1}{\sin x}}$;
设 $f(x)=x e^x$, 求 $f^{(n)}(x), n \geq 1$;
求函数 $\arccos x$ 的Maclaurin展开式（到4阶）。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2+3 n^3}\right) \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{n}}$;
已知 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^2}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right)$ 。
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试用Beta函数表示 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a}{\left(1+x^2\right)^b} d x$, 其中 $a, b$ 为实数且 $a>0,2 b-a>1$ 。
已知平面 $\Sigma$ 经过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=0 \\ x-y+2 z=0\end{array}\right.$ 且与平面 $\Sigma_0: 3 x+z=6$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 求 $\Sigma$ 的方程。
设曲面 $\Sigma$ 是由平面曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 绕极轴旋转一周所成, 其中 $x$ 轴正向与极轴相重合。(1) 试写出 $\Sigma$ 在相应空间直角坐标系中的方程; (2) 求 $\Sigma$ 的面积。
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
设函数 $f(x)$ 于 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足
$$
f(x)=\frac{1}{x^2+\left(\int_0^x f(t) d t+\sqrt{3}\right)^2},
$$
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) d x$ 收玫, 且其值小于 $\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=\int_0^{x_n} f(t) d t, n \geq 1, x_1 \geq 0$, 试证: $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n$ 存在且有限。
设 $A=\left(a_{k j}\right)_{3 \times 3}$ 是3阶实方阵, $|A| \neq 0$, 记 $D(x)=\left(a_{k j}+x\right)_{3 \times 3}$及 $g(x)=\operatorname{det} D(x)$ 。（1）试求导数 $g^{\prime}(x)$ 并证明: $g^{\prime}(0)=|A| \alpha^T\left(A^{-1}\right) \alpha$, 其中向量 $\alpha^T=(1,1,1)$;
(2) 若 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $g^{\prime}(0)$ 。