单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
(a) $\left[(A B)^T\right]^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\left(B^{-1}\right)^T$
(b) $A C$ 可道, 且 $A C=B C$, 则 $A=B$
(c) 3 是 $A$ 的特征值, 则 21 是 $A^3-2 A$ 的特征值
则上述正确的是
$\text{A.}$ (a)
$\text{B.}$ (b)
$\text{C.}$ (c)
$\text{D.}$ 全部
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]$ 的关系是
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 不合同也不相似
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\alpha=[0,-1,2]^T, \beta=[0,-1,1]^T, A=\alpha \beta^T$, 则 $A^4=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63\end{array}\right|=$
线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ x_2-x_3+2 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+(a+2) x_3+4 x_4=b \\ 3 x_1+5 x_2+x_3+(a+8) x_4=5\end{array}\right.$ 无解的充要条件是
向量 $\gamma$ 在 $\alpha_1=[1,0,1]^T, \alpha_2=[0,1,-1]^T, \alpha_3=[1,2,0]^T$ 下的坐标是 $[5,7,-4]^T$, 则 在 $\beta_1=[1,0,1]^T, \beta_2=[-1,1,1]^T, \beta_3=[1,-2,-2]^T$ 下的坐标是
$f=x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+2 a x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 是正定二次型的充要条件是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right]$ 只有两个不同的特征值, 求 $\mathrm{A}$ 的全部特征值和特征向量。
求矩阵 $X$ 满足方程 $\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right] X\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -1\end{array}\right]$
设 $a_1=[2,1,4,3]^T, a_2=[-1,1-6,6]^T, a_3=[-1,-2, a+1,-9]^T, a_4=[a, 1,-2,7]^T$, $a_5=[2,4,4,3 a+6]^T$, 若向量组的秩为 3 , 试找出一个极大无关组, 并将其他的向量用该极 大无关组线性表示。
当 $a, b$ 为何值时, 方阵组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+3 x_3+x_4=2 \\ x_1+3 x_2+x_3+3 x_4=6 \\ x_1-5 x_2+12 x_3+b x_4=-4 \\ 3 x_1-x_2+15 x_3-x_4=a\end{array}\right.$ 无解, 唯一解, 无穷多解, 并求 出无穷多解时的通解。
实对称矩阵 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 分别定义二次型 $f(\vec{x})=\vec{x}^T A \vec{x}=3 x_1^2+3 x_2^2-x_3^2-4 x_1 x_2$ 和 $f(\vec{y})=\vec{y}^T B \vec{y}=y_1^2+2 y_2^2+3 y_3^2-4 y_1 y_2-4 y_2 y_3$.
1、求可逆线性变量替换 $\vec{x}=P \vec{z}$ 和 $\vec{y}=Q \vec{z}$ 使二次型 $\mathrm{f}$ 和 $\mathrm{g}$ 化为规范型;
2、求可逆矩阵 $\mathrm{C}$ 使 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 合同, 即 $C^T A C=B$ 。
$A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明存在可逆矩阵 $P$ 和上三角矩阵 $U$, 使得 $A=P U$ 。