厦门大学2021年春季《线性代数》期末考试试卷与解析

导出试卷

厦门大学2021年春季《线性代数》期末考试试卷与解析

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. (a)

{[(A B)^{T}]}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{T} {(B^{- 1})}^{T}

(b)

A C

可道, 且

A C = B C

, 则

A = B

A

的特征值, 则 21 是

A^{3} - 2 A

的特征值
则上述正确的是

A.

(a)

B.

(b)

C.

(c)

D.

全部

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 矩阵

[\begin{array}{ccc} 3 & - 2 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]

与

[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 0 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ 0 & - 2 & 3 \end{array}]

的关系是

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

相似但不合同

D.

不合同也不相似

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

3. 向量组

α_{1} = [1, 2, - 1, 1], α_{2} = [2, 0, t, 0], α_{3} = [- 1, 2, - 4, 1]

的秩为 2 , 则

t

为

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 如果

[1, 0, 1]^{T}, [1, 2, 3]^{T}

是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也是方程组的解?

A.

[2, 2, 4]^{T}

B.

[0, 2, 2]^{T}

C.

[1, - 2, - 1]^{T}

D.

[2, 0, 2]^{T}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

A, B

分别是

m

阶和

n

阶方阵, 则

[\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}]

的伴随矩阵是

A.

[\begin{array}{cc} O & | B | B^{*} \\ | A | A^{*} & O \end{array}]

B.

(- 1)^{m n} [\begin{array}{cc} O & | A | B^{*} \\ | B | A^{*} & O \end{array}]

C.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array}]

D.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{*} \\ A^{*} & O \end{array}]

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

α = [0, - 1, 2]^{T}, β = [0, - 1, 1]^{T}, A = α β^{T}

, 则

A^{4} =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 行列式

| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63 \end{array} | =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

8. 线性方程组

{\begin{array}{r} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{2} - x_{3} + 2 x_{4} = 1 \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} + (a + 2) x_{3} + 4 x_{4} = b \\ 3 x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + (a + 8) x_{4} = 5 \end{array}

无解的充要条件是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 向量

γ

在

α_{1} = [1, 0, 1]^{T}, α_{2} = [0, 1, - 1]^{T}, α_{3} = [1, 2, 0]^{T}

下的坐标是

[5, 7, - 4]^{T}

, 则在

β_{1} = [1, 0, 1]^{T}, β_{2} = [- 1, 1, 1]^{T}, β_{3} = [1, - 2, - 2]^{T}

下的坐标是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10.

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 5 x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

是正定二次型的充要条件是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设矩阵

A = [\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{array}]

只有两个不同的特征值, 求

A

的全部特征值和特征向量。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 求矩阵

X

满足方程

[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}] X [\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & - 1 \\ 4 & 0 & - 1 \end{array}]

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 设

a_{1} = [2, 1, 4, 3]^{T}, a_{2} = [- 1, 1 - 6, 6]^{T}, a_{3} = [- 1, - 2, a + 1, - 9]^{T}, a_{4} = [a, 1, - 2, 7]^{T}

a_{5} = [2, 4, 4, 3 a + 6]^{T}

, 若向量组的秩为 3 , 试找出一个极大无关组, 并将其他的向量用该极大无关组线性表示。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 当

a, b

为何值时, 方阵组

{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 2 \\ x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} = 6 \\ x_{1} - 5 x_{2} + 12 x_{3} + b x_{4} = - 4 \\ 3 x_{1} - x_{2} + 15 x_{3} - x_{4} = a \end{matrix}

无解, 唯一解, 无穷多解, 并求出无穷多解时的通解。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 实对称矩阵

A

和

B

分别定义二次型

f (\vec{x}) = {\vec{x}}^{T} A \vec{x} = 3 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2}

和

f (\vec{y}) = {\vec{y}}^{T} B \vec{y} = y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2} - 4 y_{1} y_{2} - 4 y_{2} y_{3}

.
1、求可逆线性变量替换

\vec{x} = P \vec{z}

和

\vec{y} = Q \vec{z}

使二次型

f

和

g

化为规范型;
2、求可逆矩阵

C

使

A

与

B

合同, 即

C^{T} A C = B

。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(1) 错题本(1) 白板加入试卷

16.

A

是

n

阶方阵, 证明存在可逆矩阵

P

和上三角矩阵

U

, 使得

A = P U

。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。