数学试题讲解

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实对称矩阵

A

和

B

分别定义二次型

f (\vec{x}) = {\vec{x}}^{T} A \vec{x} = 3 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} - x_{3}^{2} - 4 x_{1} x_{2}

和

f (\vec{y}) = {\vec{y}}^{T} B \vec{y} = y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 3 y_{3}^{2} - 4 y_{1} y_{2} - 4 y_{2} y_{3}

.
1、求可逆线性变量替换

\vec{x} = P \vec{z}

和

\vec{y} = Q \vec{z}

使二次型

f

和

g

化为规范型;
2、求可逆矩阵

C

使

A

与

B

合同, 即

C^{T} A C = B

。