高等数学《微积分》-定积分专项训练

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高等数学《微积分》-定积分专项训练

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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2. 设

f (x)

为连续函数，

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

，其中

s > 0, t > 0

, 则

I

的值

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

，不依赖于

s

D.

依赖于

s

，不依赖于

t

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3. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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4. 设三个积分分别为

\begin{matrix} M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, \\ N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x, \end{matrix}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < 1

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5. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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6. 设

\begin{aligned} M & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + x)^{2}}{1 + x^{2}} d x, \\ N & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + x}{e^{x}} d x \\ K & = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (1 + \sqrt{\cos x}) d x ， \end{aligned}

则

M, N, K

的大小关系为

A.

M > N > K

B.

M > K > N

C.

K > M > N

D.

K > N > M

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

7. 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t}

, 其中

f (x)

连续且

f (0) \neq 0

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8. 设

f (x)

是周期为 2 的连续函数:
(1) 证明对任意实数

t

，有

\int_{t}^{t + 2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x

；
(2) 证明

G (x) = \int_{0}^{x} [2 f (t) - \int_{t}^{t + 2} f (s) d s] d t

是周期为 2 的周期函数.

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9. 设

f (x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t} d t

，其中

x > 0

，求

f (x) + f (\frac{1}{x})

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10. 设

f (x)

是区间

[0, \frac{π}{4}]

上的单调、可导函数，且满足

\int_{0}^{f (x)} f^{- 1} (t) d t = \int_{0}^{x} t \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} d t

其中

f^{- 1}

是

f

的反函数，求

f (x)

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11. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + \sin x ，

且

f (x) = x, x \in [0, π)

，计算

I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x

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12. 设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t,

求

lim_{x \to 0} \frac{F (x)}{x^{2 n}}

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13. 设函数

f (x)

连续，

g (x) = \int_{0}^{1} f (x t) d t

，且

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = A

，

A

为常数. 求

g^{'} (x)

并讨论

g^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性.

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14. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，

x \in (a, b)

，证明:

lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{x} [f (t + h) - f (t)] d t = f (x) - f (a) .

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15. 求

lim_{x \to + \infty} \sqrt[3]{x} \int_{x}^{x + 1} \frac{\sin t}{\sqrt{t + \cos t}} d t

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16. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有连续导数，且

| f (x) | \leq 1, f^{'} (x) > 0, x \in (- \infty, + \infty),

证明：对于

0 < α < β

，成立

lim_{n \to \infty} \int_{α}^{β} f^{'} (n x - \frac{1}{x}) d x = 0

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17. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

F (x) = \int_{0}^{x} (x - 2 t) f (t) d t ，

试证: (1) 若

f (x)

为偶函数，则

F (x)

也是偶函数；
(2) 若

f (x)

单调不增，则

F (x)

单调不减.

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