单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 则下列表达式一定正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
$\text{C.}$ $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{D.}$ $(A+E)(A-E)=A^2-E$
矩阵 $A$ 是由 3 阶单位矩阵 $E$ 依次经过初等变换 $c_1+2 c_3, r_2 \leftrightarrow r_3$ 得到的, 其对应的初等 矩阵分别为 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 可以表示为
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设线性方程组 $A_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}(m \leq n)$ 对于任意的 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$ 都有解, 则
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $ R(A)=m$
$\text{C.}$ $R(A)>n$
$\text{D.}$ $R(A) < m$
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1{ }^2+6 x_2{ }^2+4 x_3{ }^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ $f$ 是正定
$\text{B.}$ $f$ 是负定
$\text{C.}$ $ f$ 即不是正定, 也不是负定
$\text{D.}$ $f$ 的秩等于1
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 4 阶方阵 $A=\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2\right), B=\left(\boldsymbol{\beta}, 2 \boldsymbol{\gamma}_1, 2 \boldsymbol{\gamma}_2\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2$ 均为 3 维列向量, 已知 行列式 $|A|=1,|B|=4$, 则行列式 $|A+B|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), E$ 为二阶单位矩阵, 可逆矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$
若向量 $\beta=(1,2, k)$ 可由向量组 $a_1=(-1,2,7), a_2=(2,1,1), a_3=(1,-1,-4)$ 线性表 示, 则 $k=$.
设矩阵 $\mathcal{A}=\left(\begin{array}{llll}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$, 且 $R(A)=3$, 则 $k=$.
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=4 x_1 x_3+10 x_1 x_4+18 x_2 x_3+8 x_3 x_4$ 的矩阵表达式为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 2 & 4 & 8 \\
3 & -1 & 1 & -1 \\
3 & 1 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 9 & 27
\end{array}\right|
$$
$p=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17\end{array}\right)-\frac{1}{30^{2022}}\left(p p^T\right)^{2023}, B=\left(\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
(1)、求矩阵 $A$
(2) 、若 $X$ 满足 $X\left(E-B^{-1} A\right)^T B^T=E$, 求矩阵 $X$
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+3 x_2+x_3=0 \\
3 x_1+2 x_2+3 x_3=-1 \\
-x_1+4 x_2+a x_3=b
\end{array}\right.
$$
有唯一解? 无解? 有无穷多解, 并求出无穷多解时的通解。
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(1-a) x_1{ }^2+(1-a) x_2{ }^2+2 x_3{ }^2+2(1+a) x_1 x_2$ 的秩为 2
(1) 求 $a$ 的值
(2) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 转化为标准形
(3) 求方程组 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解
证明题 设 $A$ 为三阶正定矩阵, 证明: $|A|>0,|A+E|>1$
设向量组 $a_1, a_2, \cdots, a_s(s>1)$ 是齐次方程组 $A \boldsymbol{X}=0$ 的一个基础解系, 证明:
$
\beta_1=a_2+a_3+\cdots+a_s, \beta_2=a_1+a_3+\cdots+a_s, \cdots, \beta_s=a_1+a_2+\cdots+a_{s-1}
$
也是该方程组的一个基础解系。