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集合 $A=\left\{n \mid \lg n < \frac{1}{2}, n \in N\right\}$ 的所有元素之和为
$\left(2 x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^7$ 的展开式中 $x$ 的系数为
设圆 $x^2+y^2=9$ 的弦 $A B$ 的中点坐标为 $(1,1)$, 直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $P$, 则 $|P A| \cdot|P B|=$
已知 $\alpha, \beta \in R$, 且 $\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}, \tan (\alpha+\beta)=\frac{24}{7}$, 则 $\sin \alpha+\sin \beta=$
已知圆 $O$ 的直径 $A B$ 把圆分成上下两个半圆, $C, D$ 分别在上、下半圆上 (都不与 $A 、 B$ 点重合)。若 $A C=2, A D=1$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D C}=$
已知正四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面边长为 2 , 侧棱长为 $4, E$ 为棱 $C D$ 的中点, $F$ 为棱 $A A_1$ 的中点, 则点 $D$ 到平面 $E F B_1$ 的距离为
若 $z$ 为复数, 且 $|z|=1$, 则 $\left|\frac{\sqrt{3} i-z}{\sqrt{2}-z}\right|$ 的最大值为
已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 均为等差数列, 且 $a_{11}=32, b_{21}=43$ 。令 $c_n=(-1)^n \cdot\left(a_n-b_n\right)$, 数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 10 项和为 5 , 前 13 项和为 -5 , 则数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 100 项和为
已知 $A B C D$ 为四面体, 现以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点 $A$ 可以通过 四面体上的红色棱边到达点 $B$ 的概率为
已知函数 $f(x), g(x)$ 是定义在 $R$ 上的周期函数, 且它们在区间 $[-1,1]$ 上单调 递增, 以下陈述:
A $f(x)+g(x)$ 为周期函数
B $f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增
C $f((g(x))$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增
D $f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)$ 为偶函数
正确的是
已知数列 $a_{n+1}=3 a_n-a_n^2-1(n=1,2, \cdots), a_1=a$, 则下列陈述:
A 若 $a \neq 1$, 则 $a_n$ 严格单调递减
B 若 $a=\frac{3}{2}$, 则对任意 $n \in N^*$, 有 $a_n>1$
C 若 $a=3$, 则存在正整数 $k_0$ 使得 $\sum_{n=1}^{k_0} \frac{1}{a_n-2} < \frac{1}{2}$
D 已知数列 $a_{n+1}=3 a_n-a_n^2+k(n=1,2, \cdots), a_1=1$ 。若 $k \in\left[-\frac{3}{4}, 0\right]$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 有界
正确的是
已知 $x$ 为实数, 且满足 $5^{2 x+1}+3125=5^{5 x-x^2}$, 则 $x$ 最小值和最大值之和为
已知锐角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A>\angle B>\angle C, \angle A+\angle C=2 \angle B, A B=4, B C=5$, 则 $\triangle A B C$ 的面积最大内接正方形边长为
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 设 $P$ 是第一象限内椭 圆 $C$ 上的一点, $P F_1 、 P F_2$ 的延长线分别交椭圆于 $Q_1 、 Q_2$ 点。则 $\triangle P F_1 Q_2 、 \triangle P F_2 Q_1$ 的面积之差的最大值为
设实数 $r$ 满足 $r^3-r-1=0$, 且 $r+\sqrt{2}$ 为多项式 $P(x)=0$ 的根。若 $p(x)$ 的 首项系数为 $1, p(x)$ 为满足条件的整系数多项式中次数最低的, 则 $p(x)=$
已知四面体 $A B C D$ 中, 面 $A B C$ 和 $A B D$ 的面积分别是 4 和 7 , 两者之间的二 面角为 $60^{\circ}$, 则通过棱 $A B$ 和四面体内切球的球心的截面面积为
已知 $n$ 个正整数组成的集合中, 任意两个元素的差要么恰好被 5 整除, 要么恰 好被 25 整除, 则 $n$ 的最大值为
设 $m, n(m>n)$ 为正整数, 且 $70^2 \mid 2023^n-2023^n$, 则 $m+n$ 的最小值为
一个蚂蚁在单位立方体上以每秒 1 单位的速度沿棱运动, 它从任一顶点起开始运 动。假设每次蚂蚁到达顶点处后转向各方向继续运动的概率相同 (允许后转折返走 动), 则其第一次重返起点所需用时间的数学期望为
可导函数 $f:\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R$ 满足 $f^{\prime}(x) \tan x \geqslant(2 \sin x-1) f(x)$. 若 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=1$, 则 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的最小值为