单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
（2022－全国－统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的＂会圆术＂，如图，$\overparen{A B}$ 是以 $O$ 为圆心，$O A$ 为半径的圆弧，$C$ 是 $A B$ 的中点，$D$ 在 $\overparen{A B}$ 上，$C D \perp A B$ 。＂会圆术＂给出 $z B$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s=A B+\frac{C D^2}{O A}$ ．当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$ 时，$s=$
$\text{A.}$ $\frac{11-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{11-4 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9-4 \sqrt{3}}{2}$
（2023•福建福州•福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是 1 和 3 ，且 $\angle A B C=120^{\circ}$ ，则该圆台的体积为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{14 \sqrt{2}}{81} \pi$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{52 \sqrt{2}}{81} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{2}}{3} \pi$
（2023．广东深圳•深圳中学统考模拟预测）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 $60^{\circ}$ ，底面圆的半径为 8 ，则圆锥的侧面积为
$\text{A.}$ $384 \pi$
$\text{B.}$ $392 \pi$
$\text{C.}$ $398 \pi$
$\text{D.}$ $404 \pi$
中国古代数学专著《九章算术》的第一章＂方田＂中载有＂半周半径相乘得积步＂，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积 ＂替代＂圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数 $n$ 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为＂精确＂地估计圆周率 $\pi$ ．据此，当 $n$ 足够大时，可以得到 $\pi$ 与 $n$ 的关系为
$\text{A.}$ $$
\pi \approx \frac{n}{2} \sin \frac{360^{\circ}}{n}
$$
$\text{B.}$ $$
\pi \approx n \sin \frac{180^{\circ}}{n}
$$
$\text{C.}$ $$
\pi \approx n \sqrt{2\left(1-\cos \frac{360^{\circ}}{n}\right)}
$$
$\text{D.}$ $$
\pi \approx \frac{n}{2} \sqrt{1-\cos \frac{180^{\circ}}{n}}
$$
（2023•浙江嘉兴•统考二模）相传早在公元前 3 世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径。厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井 S 时，亚历山大城某处 A 的太阳光线与地面成角 $\theta=82.8^{\circ}$ ，又知某商队旅行时测得 A 与 S 的距离即劣弧 $P S$ 的长为 5000 古希腊里，若圆周率取 3.125 ，则可估计地球半径约为（）
$\text{A.}$ 35000 古希腊里
$\text{B.}$ 40000 古希腊里
$\text{C.}$ 45000 古希腊里
$\text{D.}$ 50000 古希腊里
（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为 1 ，侧面展开图是一个圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 $\frac{1}{3}$ ，则圆台的侧面积为
$\text{A.}$ $\frac{8 \pi}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{35 \pi}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{16 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $8 \pi$
（2020•山东•统考高考真题）已知直线 $l: y=x \sin \theta+\cos \theta$ 的图像如图所示，则角 $\theta$ 是
$\text{A.}$ 第一象限角
$\text{B.}$ 第二象限角
$\text{C.}$ 第三象限角
$\text{D.}$ 第四象限角
（全国．高考真题）若 $\sin \theta \cos \theta>0$ ，则 $\theta$ 在
$\text{A.}$ 第一、三象限
$\text{B.}$ 第一、二象限
$\text{C.}$ 第一、四象限
$\text{D.}$ 第二、四象限
（全国•高考真题）已知 $\alpha$ 是第四象限角， $\cos \alpha=\frac{12}{13}$ ，则 $\sin \alpha$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{5}{13}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{13}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{12}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{12}$
（2023•河北沧州•沦县中学校考模拟预测）已知点 $P(\sqrt{3}, 1)$ 为角 $\alpha$ 终边上一点，绕原点 $O$ 将 $O P$ 顺时针旋转 $\frac{5 \pi}{6}$ ，点 $P$ 旋转到点 $Q$ 处，则点 $Q$ 的坐标为
$\text{A.}$ $(-\sqrt{3},-1)$
$\text{B.}$ $(-1,-\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right)$
已知 $\cos \theta \cdot \tan \theta < 0$ ，那么角 $\theta$ 是（ ）
$\text{A.}$ 第一或第二象限角
$\text{B.}$ 第二或第三象限角
$\text{C.}$ 第三或第四象限角
$\text{D.}$ 第一或第四象限角
若 $\sin \alpha < 0$ ，且 $\tan \alpha>0$ ，则 $\alpha$ 是
$\text{A.}$ 第一象限角
$\text{B.}$ 第二象限角
$\text{C.}$ 第三象限角
$\text{D.}$ 第四象限角
已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-4,3)$ ，则 $\cos \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $-\frac{4}{5}$
在平面直角坐标系中，$\overparen{A B}, \overparen{C D}, \overparen{E F}, \overparen{G H}$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上的四段弧（如图），点 $P$ 在其中一段上，角 $\alpha$ 以 $O x$为始边，$O P$ 为终边，若 $\tan \alpha < \cos \alpha < \sin \alpha$ ，则 $P$ 所在的圆弧是
$\text{A.}$ $\overparen{A B}$
$\text{B.}$ $\overparen{C D}$
$\text{C.}$ $\overparen{E F}$
$\text{D.}$ $\overparen{G H}$
在平面直角坐标系中，若角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边经过点 $\left(\sin \frac{2 \pi}{3}, \cos \frac{2 \pi}{3}\right)$ ，则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知圆锥的侧面积（单位： $\mathrm{cm}^2$ ）为 $2 \pi$ ，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： cm ）是
若点 $A(\cos \theta, \sin \theta)$ 关于 $y$ 轴对称点为 $B\left(\cos \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right), \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ ，写出 $\theta$ 的一个取值为