（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考二模）如图，圆锥的底面半径为 1 ，侧面展开图是一个圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 $\frac{1}{3}$ ，则圆台的侧面积为
A. $\frac{8 \pi}{3}$
B. $\frac{\sqrt{35 \pi}}{2}$
C. $\frac{16 \pi}{3}$
D. $8 \pi$