单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}\left(1-e^{-\mid x^3}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=1$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=-1$ ；
$\text{D.}$ $f(x)$ 在点 $x=0$ 不可导。
方程 $x^3-2 x^2+6 x+3=0$ 实数根的个数有几个？
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内二阶可导，且满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)-1=0$ ，若 $x_0$ 是 $f(x)$的一个驻点，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极大值；
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处取极小值；
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处不取极值；
$\text{D.}$ 无法判定 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否取极值。
设 $f(x)=\int_0^{1-\cos x} \sin t^2 d t, g(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^6}{6}$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小；
$\text{B.}$ 等价无穷小；
$\text{C.}$ 高阶无穷小；
$\text{D.}$ 同阶但不等价无穷小。
设 $\forall x \in(a, b)$ ，有 $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ ，则 $\forall x \in(a, b)$ 有
$\text{A.}$ $\int f(x) d x=g(x)+C$ ；
$\text{B.}$ $\int g(x) d x=f(x)+C$ ；
$\text{C.}$ $f(x)=g(x)$ ；
$\text{D.}$ $f(x)=g(x)+C$ 。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^2}=$
设 $y+e^y+\ln (\cos \sqrt{x})=0$ ，则 $d y=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=t e^{-t} \\ y=e^{-t}\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=e}=$
已知 $f(x)=\int_1^{\sqrt{x}} \frac{d t}{\arctan t}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$
曲线 $y=x(x-1)(x-2)(x-3)$ 的拐点的个数为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin (x-\sin x)}{1-\cos (1-\cos x)}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(e-1-t)^2 d t}{x \sin ^4 x}$
$\int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$;
$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}} d x$
$\int \frac{\arctan x}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
$\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$
设 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $f(x)=\tan x+e^{-x}$ 的二阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式。
判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \frac{1+n}{n}\right)$ 的敛散性。
计算 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 在 $(2,0)$ 处的曲率。
求心形线 $\rho=1-\cos \theta$ 所围图形的面积。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，证明 $2 \sin x+\tan x \geq 3 x$ 。
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$(0,1)$ 内可导且 $x f^{\prime}(x)+f(x) \neq 0$ ，证明：
对于 $\forall \alpha \in(0,1)$ ，必有 $\int_\alpha^1 f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 。