填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha=(1,2), \beta=(1,-1)$ ，则 $\alpha \beta^{\mathrm{T}}=$ $\_\_\_\_$ $\left(\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right)^{999}=$ $\_\_\_\_$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right)$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
若向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ k \\ -1\end{array}\right)$ ，则当数 $k$ $\_\_\_\_$时，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关．
$2 \times 2$ 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 均可逆， $\boldsymbol{G}=\boldsymbol{E}-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})^{-1}$ ，则 $\boldsymbol{G}^{-1}=$
分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $6 \times 5$ 矩阵，若齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间是 2 维的，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=0$ 的解空间是 $\_\_\_\_$维的
与向量 $\alpha=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 均正交的一个单位向量为
已知矩阵 $\boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{cc}12 & 4 \\ 3 & k\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{M M}^{\mathrm{T}}$ ，则当数 $k$ 满足条件 $\_\_\_\_$时， $\boldsymbol{A}$ 是正定的．
若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^2-3 \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ，且有两个不同的特征值，则当参数 $k$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，矩阵 $\boldsymbol{E}+k \boldsymbol{A}$ 是正定的．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求矩阵方程 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{X}+\boldsymbol{B}$ 的解，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1\end{array}\right)$ ．
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 1 （二重）和 $-1, \alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是其相应于特征值 1 的特征向量， $\alpha_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是其相应于特征值 -1 的特征向量．
1．求 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{9999}$ ．
2．若 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ 特征值也是 1 （二重）和 -1 ，证明： $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必定相似．
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+3 x_2+5 x_3+5 x_4=2 \\ \quad-x_2+p x_3-2 x_4=q \\ 3 x_1+2 x_2+x_3+(p+3) x_4=-1\end{array}\right.$
1．问参数 $p, q$ 满足什么条件时，该方程组无解；有唯一解，有无穷多解？
2．当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）．
矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & -2\end{array}\right)$ ．
1．求一 $4 \times 2$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，且秩 $(\boldsymbol{B})=2$ ；
2．问：是否存在秩大于 2 的矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{A C}=\boldsymbol{O}$ ？为什么？
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}k & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & 4\end{array}\right)$ 相似，
1．求参数 $\boldsymbol{k}$ 的值；2．求一正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个互异的特征值，$\eta_1, \eta_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_1$ 的线性无关的特征向量，$\eta_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_2$ 的特征向量．证明：$\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 线性无关．
已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角阵，并且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量均是矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征向量（注： $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的特征值未必相同）．证明： $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$ ．