填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机事件 $A, B, C$ 相互独立，且 $P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}, P(C)=\frac{1}{4}$ ，则 $P(A \cup B \cup C)= \quad . P(A-B C)=$.
设有甲、乙两袋球，每袋内均装有 3 只球，均为一只白球两只黑球，现从甲袋中取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球。记 $A=\{$ 从甲袋中取得的是黑球 $\}$ ， $B=\{$ 从乙袋中取得的是黑球 $\}$ ，则 $P(B)= , P(A \mid B)= $ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim B\left(2, \frac{1}{3}\right), \quad Y \sim B\left(2, \frac{1}{4}\right)$ ，则 $P\{X=Y\}=$ 和 $P\{X=1 \mid X=Y\}=$ ．
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X, \quad X \sim U(0, b)$（均匀分布），记 $\bar{X}, S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则 $E(\bar{X})= \quad, E\left(S^2\right)=$ 。
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 取自总体 $X, X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则 $\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim$ ________（分布），$\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim $ ________（分布）。
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设连续型随机变量 $X$ 的分布密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
c x^4, 0 < x < 1, \\
0, \text { 其余. }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 $c$ ；
（2）$P\left\{\frac{1}{4} \leq X^5 < \frac{1}{2}\right\}$ ；
（3）$E(X)$ ；
（4）$D(X)$ ；
（5）设 $Y=e^X$ ，求 $Y$ 的分布密度函数．
连续地拋掷一枚均匀硬币，设 $X$ 是首次出现正面的拋掷次数，$Y$ 是前两次的结果中出现正面的次数．求 $(X, Y)$ 的联合分布律；判断 $X, Y$ 是否独立并说明理由．
某高校在校园内设置共享单车。该校共有 10000 名师生．设每位师生需用共享单车的概率为 $50 \%$ 。假定各人是否需用共享单车相互独立．问：需要在校内共放置多少辆共享单车才能以 $99 \%$ 以上的概率满足师生需求？ $\text { 【 } \Phi(1.280)=0.9, \quad \Phi(1.645)=0.95, \quad \Phi(2.325)=0.99 \text { 】 }$
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布密度函数
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
2, & 0 < y < x, 0 < x < 1, \\
0, & \text { 其余. }
\end{array}\right.
$$
求（1）$P\{X+Y \leq 1\}$ ；
（2）$X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ；
（3）判断 $X, Y$ 是否不线性相关？是否独立？为什么？
设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 取自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma^2>0$ 未知参数．
（1）求 $\sigma^2$ 的极大似然估计 $\hat{\sigma_1{ }^2}$ ；
（2）$\sigma^2$ 的另一个估计量是 $\hat{\sigma_2^2}=S^2$ ，其中 $S^2$ 是样本方差试证明：$\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 均是 $\sigma^2$的无偏估计，并对比 $\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 的有效性．