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设连续型随机变量 $X$ 的分布密度为

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
c x^4, 0 < x < 1, \\
0, \text { 其余. }
\end{array}\right.
$$

求（1）常数 $c$ ；
（2）$P\left\{\frac{1}{4} \leq X^5 < \frac{1}{2}\right\}$ ；
（3）$E(X)$ ；
（4）$D(X)$ ；
（5）设 $Y=e^X$ ，求 $Y$ 的分布密度函数．
                        
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