设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 取自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^2\right)$ ，其中 $\sigma^2>0$ 未知参数．
（1）求 $\sigma^2$ 的极大似然估计 $\hat{\sigma_1{ }^2}$ ；
（2）$\sigma^2$ 的另一个估计量是 $\hat{\sigma_2^2}=S^2$ ，其中 $S^2$ 是样本方差试证明：$\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 均是 $\sigma^2$的无偏估计，并对比 $\hat{\sigma_1^2}, \hat{\sigma_2^2}$ 的有效性．